Gradiente e curve di livello
Sia $f(x,y)$ una funzione reale di due variabili reali, di classe $C^1$ in un aperto.
Sotto quali ipotesi il gradiente di $f$ è ortogonale alle curve di livello di $f$?
Sotto quali ipotesi il gradiente di $f$ è ortogonale alle curve di livello di $f$?
Risposte
Direi, dato il contesto, che le ipotesi ragionevoli da aggiungere soo quelle che ti permettono di applicare il teorema di Dini delle funzioni implicite.
E' certamente sufficiente assumere che il gradiente di $f$ sia diverso da zero.
Se in $(\bar x, \bar y)$ il gradiente è diverso da zero, allora l'insieme di livello k (dove $k = f(\bar x, \bar y)$) è localmente una curva regolare, pertanto dotata di retta tangente.
Quindi:
1. ha senso il problema
2. il gradiente è ortogonale alla curva di livello [dove l'ortogonalità a una curva si interpreta al solito come ortogonalità rispetto a un vettore tangente alla curva] e questo è sostanzialmente già nella tesi del teorema di Dini.
Se la regolarità non si ha, possono succedere cose tipo:
- $f(x,y) = 0$ per ogni $(x,y)$. Non si capisce il gradiente a cosa dovrebbe essere ortogonale
- $f(x,y) = x^2 - y^2$. Il gradiente in $(0,0)$ è nullo, però hai che l'insieme di livello è fatto da due rette passanti per l'origine
Ovviamente uno potrebbe anche dire: se la regolarità non è soddisfatta in un punto, vuol dire che in quel punto il gradiente è nullo. E quindi è ortogonale a ogni vettore...
Può sembrare una stupidaggine, ma in certi contesti è una affermazione da tenere in considerazione (se non altro per avere formulazioni generali, bypassando le eccezioni).
E' certamente sufficiente assumere che il gradiente di $f$ sia diverso da zero.
Se in $(\bar x, \bar y)$ il gradiente è diverso da zero, allora l'insieme di livello k (dove $k = f(\bar x, \bar y)$) è localmente una curva regolare, pertanto dotata di retta tangente.
Quindi:
1. ha senso il problema
2. il gradiente è ortogonale alla curva di livello [dove l'ortogonalità a una curva si interpreta al solito come ortogonalità rispetto a un vettore tangente alla curva] e questo è sostanzialmente già nella tesi del teorema di Dini.
Se la regolarità non si ha, possono succedere cose tipo:
- $f(x,y) = 0$ per ogni $(x,y)$. Non si capisce il gradiente a cosa dovrebbe essere ortogonale
- $f(x,y) = x^2 - y^2$. Il gradiente in $(0,0)$ è nullo, però hai che l'insieme di livello è fatto da due rette passanti per l'origine
Ovviamente uno potrebbe anche dire: se la regolarità non è soddisfatta in un punto, vuol dire che in quel punto il gradiente è nullo. E quindi è ortogonale a ogni vettore...
Può sembrare una stupidaggine, ma in certi contesti è una affermazione da tenere in considerazione (se non altro per avere formulazioni generali, bypassando le eccezioni).
Anzitutto, grazie per la conferma.
Con le ultime osservazioni hai centrato il punto della questione. La mia domanda è nata in relazione ai problemi di ricerca di max e min vincolati. Tipicamente, il modo di procedere è quello di imporre che il gradiente della funzione di cui si cercano max e min e il gradiente della funzione che (uguagliata a zero) definisce il vincolo siano paralleli (ovvero siano entrambi ortogonali al vettore tangente al vincolo in un certo punto). Nella risoluzione di questi problemi, i punti in cui il gradiente della funzione-vincolo si annulla vengono trattati a parte, come a significare che non rispettano la condizione poc'anzi esposta. Tuttavia il vettore nullo è banalmente ortogonale ad ogni altro vettore, come hai fatto notare nell'ultima parte della risposta. Perciò mi chiedevo se avesse del tutto senso trattare quei punti a parte. Forse li si tratta a parte perché in quei casi non ha senso parlare di vettore tangente? Ad esempio per la funzione $x^2-y^2=0$, nel punto $(0,0)$ come si fa a parlare di vettore tangente?
Con le ultime osservazioni hai centrato il punto della questione. La mia domanda è nata in relazione ai problemi di ricerca di max e min vincolati. Tipicamente, il modo di procedere è quello di imporre che il gradiente della funzione di cui si cercano max e min e il gradiente della funzione che (uguagliata a zero) definisce il vincolo siano paralleli (ovvero siano entrambi ortogonali al vettore tangente al vincolo in un certo punto). Nella risoluzione di questi problemi, i punti in cui il gradiente della funzione-vincolo si annulla vengono trattati a parte, come a significare che non rispettano la condizione poc'anzi esposta. Tuttavia il vettore nullo è banalmente ortogonale ad ogni altro vettore, come hai fatto notare nell'ultima parte della risposta. Perciò mi chiedevo se avesse del tutto senso trattare quei punti a parte. Forse li si tratta a parte perché in quei casi non ha senso parlare di vettore tangente? Ad esempio per la funzione $x^2-y^2=0$, nel punto $(0,0)$ come si fa a parlare di vettore tangente?
Per l'ultimo mio esempio che citi, non si parla di vettore tangente.
Però nulla vieta di parlare di cono (in questo caso, non convesso) tangente. Che qui è banalmente costituito dalle due rette.
L'uso di "coni tangenti" e di "coni normali" serve essenzialmente per estendere il solito calcolo differnziale al di fuori di condizioni di differenziabilità. Su questo, a partire dall'analisi convenssa ma andando oltre, c'è una messe di contributi imponente.
Esempio, in analisi convessa, la condizione "gradiente nullo" si può generalizzare facilmente alla condizione che $0 \in \partial f$. Ovvero che 0 appartenga al sottogradiente di $f$.
Ad esempio, la funzione (convessa) $|x|$ è noto che non è derivabile in $0$. Tuttavia il suo sottogradiente (che in casi semplici come questo si può descrivere come l'insieme dei coefficienti angolari delle rette che passano per l'origine e stanno sempre al di sotto del grafico di $|x|$) nell'origine è l'intervallo $[-1,1]$. E, come vedi, lo 0 ci sta...
Però nulla vieta di parlare di cono (in questo caso, non convesso) tangente. Che qui è banalmente costituito dalle due rette.
L'uso di "coni tangenti" e di "coni normali" serve essenzialmente per estendere il solito calcolo differnziale al di fuori di condizioni di differenziabilità. Su questo, a partire dall'analisi convenssa ma andando oltre, c'è una messe di contributi imponente.
Esempio, in analisi convessa, la condizione "gradiente nullo" si può generalizzare facilmente alla condizione che $0 \in \partial f$. Ovvero che 0 appartenga al sottogradiente di $f$.
Ad esempio, la funzione (convessa) $|x|$ è noto che non è derivabile in $0$. Tuttavia il suo sottogradiente (che in casi semplici come questo si può descrivere come l'insieme dei coefficienti angolari delle rette che passano per l'origine e stanno sempre al di sotto del grafico di $|x|$) nell'origine è l'intervallo $[-1,1]$. E, come vedi, lo 0 ci sta...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo