Gradiente e curve di livello
ciao a tutti.
vi prego aiutatemi. Sto cercando di arrivare con i calcoli pratici al fatto che il gradiente è ortogonale alle curve di livello, in questo caso una funzione in 2 variabili.
se ad esempio io ho f(x,y)= x^2 - y^2
ho provato ad esempio per la curva di livello a=0 e ho trovato due rette degeneri
ho provato a svolgere il gradiente per il punto (1,1) , che appartiene a una delle due rette, e ho trovato che è pari a (2,-2) .
a questo punto ho pensato. Poiché il gradiente è un vettore che giace su una retta, ho provato a trovare la retta passante per il punto di applicazione del vettore(1,1) e (2,-2) ma questa retta non è ortogonale alla curva di livello nel punto (1,1). Ho sbagliato tutto?
Un' ultima cosa.
Sarebbe cambiato qualcosa se avessi avuto una funzione con i segni invertiti? f(x,y) = y^2 - x^2 ?
grazie mille a chi mi aiuterà
vi prego aiutatemi. Sto cercando di arrivare con i calcoli pratici al fatto che il gradiente è ortogonale alle curve di livello, in questo caso una funzione in 2 variabili.
se ad esempio io ho f(x,y)= x^2 - y^2
ho provato ad esempio per la curva di livello a=0 e ho trovato due rette degeneri
ho provato a svolgere il gradiente per il punto (1,1) , che appartiene a una delle due rette, e ho trovato che è pari a (2,-2) .
a questo punto ho pensato. Poiché il gradiente è un vettore che giace su una retta, ho provato a trovare la retta passante per il punto di applicazione del vettore(1,1) e (2,-2) ma questa retta non è ortogonale alla curva di livello nel punto (1,1). Ho sbagliato tutto?
Un' ultima cosa.
Sarebbe cambiato qualcosa se avessi avuto una funzione con i segni invertiti? f(x,y) = y^2 - x^2 ?
grazie mille a chi mi aiuterà
Risposte
Ciao,
Secondo me invece curve di livello e gradiente da te calcolati sono perpendicolari.
le curve di livello per le quali risulta $f(x,y)=0$ sono le rette $y=x$ e $y=-x$ (a proposito, perché degeneri?). Il gradiente della funzione è:
$\nabla f(x,y)=(2x,-2y)$
Il punto $(1,1)$ appartiene alla retta $y=x$ e un vettore che giace sulla retta è appunto $v=(1,1)$. In tale punto il gradiente è il vettore $\nabla f(1,1)=(2,-2)$. facendo il prodotto scalare tra i due vettori risulta:
$(1,1) \cdot (2,-2) = 2-2 = 0$. Quindi sono perpendicolari. Forse hai solo sbagliato i conti.
Per la funzione con i segni invertiti $f(x,y) = -x^2 +y^2$ per quanto riguarda i conti non cambia nulla. Sono analoghi
Secondo me invece curve di livello e gradiente da te calcolati sono perpendicolari.
le curve di livello per le quali risulta $f(x,y)=0$ sono le rette $y=x$ e $y=-x$ (a proposito, perché degeneri?). Il gradiente della funzione è:
$\nabla f(x,y)=(2x,-2y)$
Il punto $(1,1)$ appartiene alla retta $y=x$ e un vettore che giace sulla retta è appunto $v=(1,1)$. In tale punto il gradiente è il vettore $\nabla f(1,1)=(2,-2)$. facendo il prodotto scalare tra i due vettori risulta:
$(1,1) \cdot (2,-2) = 2-2 = 0$. Quindi sono perpendicolari. Forse hai solo sbagliato i conti.
Per la funzione con i segni invertiti $f(x,y) = -x^2 +y^2$ per quanto riguarda i conti non cambia nulla. Sono analoghi
intanto grazie mille per la risposta.
Fin qui ci sono ho fatto esattamente la stessa cosa. Però il mio problema parte proprio da qui. Ho provato a trovare la retta passante per il punto di applicazione del gradiente (1,1) e poi (2,-2) ma la retta per cui passa il vettore non è ortogonale alla curva di livello y=x perché? di solito faccio così per graficare un vettore gradiente.
Riguardo all'altra funzione con i segni invertiti ok i calcoli sono uguali però a livello grafico cambia?
Grazie ancora.
Fin qui ci sono ho fatto esattamente la stessa cosa. Però il mio problema parte proprio da qui. Ho provato a trovare la retta passante per il punto di applicazione del gradiente (1,1) e poi (2,-2) ma la retta per cui passa il vettore non è ortogonale alla curva di livello y=x perché? di solito faccio così per graficare un vettore gradiente.
Riguardo all'altra funzione con i segni invertiti ok i calcoli sono uguali però a livello grafico cambia?
Grazie ancora.
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