Gradiente: direzione di massima pendenza
Ciao a tutti, io so che presa una funzione differenziabile, la direzione del gradiente e' la direzione in cui la derivata della funzione assume il valore massimo punto per punto. Esiste una dimostrazione matematica di quanto detto? cioe' perche' la direzione del gradiente e' la direzione in cui si ha la massima pendenza della funzione?
Grazie.
Grazie.
Risposte
Ma si, certo, cerca sul tuo libro sotto la voce "regola del gradiente" o qualcosa del genere. Comunque la tua domanda è formulata male. Per una funzione di due variabili non ha senso parlare genericamente di "pendenza", bisogna pensare al grafico della funzione come ad una superficie nello spazio tridimensionale. Meglio leggere tutto il paragrafo del libro, che ti chiarirà bene le idee.
Come hai detto, probabilmente la mia domanda è posta male.
Io sto studiando gli algoritmi di minimizzazione e quelli di discesa basati sul gradiente, fondano la loro teoria sul fatto che la direzione di massima pendenza di una funzione (meglio vederla come funzione tridimensionale) e' la direzione del gradiente.
forse la ragione sta nel fatto che per la disuguaglianza di Cauchy - Schwartz posso scrivere che la derivata direzionale di una funzione f, in una direzione d la posso scrivere come:
$(delf)/(deld)= <\vec \grad f , d> <= ||\vec \grad f ||*||\vec d||$
Quindi qualunque direzione prendo, la derivata direzionale sarà sempre $<= $ del gradiente. Giusto?
Grazie per le risposte!!!
Io sto studiando gli algoritmi di minimizzazione e quelli di discesa basati sul gradiente, fondano la loro teoria sul fatto che la direzione di massima pendenza di una funzione (meglio vederla come funzione tridimensionale) e' la direzione del gradiente.
forse la ragione sta nel fatto che per la disuguaglianza di Cauchy - Schwartz posso scrivere che la derivata direzionale di una funzione f, in una direzione d la posso scrivere come:
$(delf)/(deld)= <\vec \grad f , d> <= ||\vec \grad f ||*||\vec d||$
Quindi qualunque direzione prendo, la derivata direzionale sarà sempre $<= $ del gradiente. Giusto?
Grazie per le risposte!!!
Allora? NEssuno mi puo' aiutare?
Grazie e scusatemi per l'up!!!
Grazie e scusatemi per l'up!!!
Ricordati solo che il vettore direzionale deve essere normalizzato nel conto, ottenendo proprio quello che cerchi.
Non ho capito cosa intendi!!!
Quando applichi la formula del prodotto scalare, la direzione deve essere un vettore normalizzato (cioè di norma $1$).
Così quando maggiori con Cauchy-Schwartz ti viene proprio la disuguaglianza cercata.
Così quando maggiori con Cauchy-Schwartz ti viene proprio la disuguaglianza cercata.
Grazie per la risposta e scusami per il ritardo.
Quindi quello che dici tu e':
$(delf)/(deld)= <\vec \grad f , d> <= ||\vec \grad f ||*||\vec d||=||\vec \grad f ||*1=||\vec \grad f ||$
E quindi:
$(delf)/(deld) <= ||\vec \grad f ||$
Giusto?
Quindi quello che dici tu e':
$(delf)/(deld)= <\vec \grad f , d> <= ||\vec \grad f ||*||\vec d||=||\vec \grad f ||*1=||\vec \grad f ||$
E quindi:
$(delf)/(deld) <= ||\vec \grad f ||$
Giusto?
Sì! Se pensi a come calcoli il gradiente, le derivate parziali non sono altro che le derivate direzionali lungo gli assi coordinati, ovviamente le direzioni sono i vettori della base cartesiana.
Ho due dubbi:
- se mi chiede oltre alla direzione anche il valore, mi basta calcolare il modulo del vettore ottenuto?
- Se mi chiede la rapidità di variazione della funzione in un punto di coordinate nella direzione parallela ad un vettore, occorre semplicemente calcolare la derivata direzionale?
Vi ringrazio.
- se mi chiede oltre alla direzione anche il valore, mi basta calcolare il modulo del vettore ottenuto?
- Se mi chiede la rapidità di variazione della funzione in un punto di coordinate nella direzione parallela ad un vettore, occorre semplicemente calcolare la derivata direzionale?
Vi ringrazio.
- Si;
- Si.
- Si.
Ti ringrazio.
Esercitandomi su quest'argomento sono intaccato in un calcolo di massima e minima pendenza in un punto in cui il gradiente è nullo. A che conclusione posso arrivare?
Di per se so che punti in cui il gradiente è nullo sono punti di massimo, minimo o sella; e punti in cui il piano tangente è parallelo al piano $xy$. Ma in tal caso non so come '' contestualizzare ''.
Esercitandomi su quest'argomento sono intaccato in un calcolo di massima e minima pendenza in un punto in cui il gradiente è nullo. A che conclusione posso arrivare?
Di per se so che punti in cui il gradiente è nullo sono punti di massimo, minimo o sella; e punti in cui il piano tangente è parallelo al piano $xy$. Ma in tal caso non so come '' contestualizzare ''.
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