Gradiente di una funzione definita da applicazione lineare e forma quadratica
Buongiorno a tutti 
Ho questo esercizio di analisi 2 che mi crea non pochi problemi!
Calcolare il gradiente di f in ogni punto del suo dominio, con f definita da :
\[ f(x)=1/\|x\|^5 + Q(Ax) \]
con \(x\neq0\) e \( x\in\mathbb{R^n} \)
dove \( Q:\mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R} \) è una forma quadratica e \(A:\mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R^n} \) è un'applicazione lineare.
Grazie a chiunque mi risponderà!
Ho questo esercizio di analisi 2 che mi crea non pochi problemi!
Calcolare il gradiente di f in ogni punto del suo dominio, con f definita da :
\[ f(x)=1/\|x\|^5 + Q(Ax) \]
con \(x\neq0\) e \( x\in\mathbb{R^n} \)
dove \( Q:\mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R} \) è una forma quadratica e \(A:\mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R^n} \) è un'applicazione lineare.
Grazie a chiunque mi risponderà!
Risposte
Vabbé, la derivata del pezzo con la norma si calcola facilmente, quindi la lascio a te.
Per il resto, vediamo come fare la generica derivata parziale del pezzo \(\mathcal{Q}(Ax)\).
Facciamo il conto esplicitamente nel caso di dimensione $N=2$; il caso generale segue per analogia (la dimostrazione si può fare anche semplicemente, ma c'è bisogno di essere pratici con la notazione...).
Come sai, una forma quadratica \(\mathcal{Q}(y_1,y_2)\) si può rappresentare usando il prodotto con una matrice simmetrica $Q=((a,b),(b,c))$:
\[
\mathcal{Q}(y) = y^T \cdot Q \cdot y = ay_1^2 + 2by_1y_2+cy_2^2\; ;
\]
detto ciò, si vede facilmente che:
\[
\begin{split}
\frac{\partial}{\partial y_1} \mathcal{Q}(y) &= 2ay_1+2by_2\\
\frac{\partial}{\partial y_2} \mathcal{Q}(y) &= 2by_1+2cy_2
\end{split}
\]
ossia che:
\[
\operatorname{grad} \mathcal{Q}(y_1,y_2)=2\begin{pmatrix} a & b\\ b & c\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\end{pmatrix} =2Q\cdot y\; .
\]
Sfruttando il Teorema di Derivazione della Funzione Composta, allora, hai:
\[
\begin{split}
\operatorname{grad} \mathcal{Q}(Ax)= 2Q\cdot (A\cdot x)^T\cdot A\; .
\end{split}
\]
Per il resto, vediamo come fare la generica derivata parziale del pezzo \(\mathcal{Q}(Ax)\).
Facciamo il conto esplicitamente nel caso di dimensione $N=2$; il caso generale segue per analogia (la dimostrazione si può fare anche semplicemente, ma c'è bisogno di essere pratici con la notazione...).
Come sai, una forma quadratica \(\mathcal{Q}(y_1,y_2)\) si può rappresentare usando il prodotto con una matrice simmetrica $Q=((a,b),(b,c))$:
\[
\mathcal{Q}(y) = y^T \cdot Q \cdot y = ay_1^2 + 2by_1y_2+cy_2^2\; ;
\]
detto ciò, si vede facilmente che:
\[
\begin{split}
\frac{\partial}{\partial y_1} \mathcal{Q}(y) &= 2ay_1+2by_2\\
\frac{\partial}{\partial y_2} \mathcal{Q}(y) &= 2by_1+2cy_2
\end{split}
\]
ossia che:
\[
\operatorname{grad} \mathcal{Q}(y_1,y_2)=2\begin{pmatrix} a & b\\ b & c\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\end{pmatrix} =2Q\cdot y\; .
\]
Sfruttando il Teorema di Derivazione della Funzione Composta, allora, hai:
\[
\begin{split}
\operatorname{grad} \mathcal{Q}(Ax)= 2Q\cdot (A\cdot x)^T\cdot A\; .
\end{split}
\]
Ok grazie mille ho abbastanza capito .
Per vedere un altro esempio, per calcolare il gradiente di $ f(x)= ||Ax||^2 $ sempre con $ x in RR^n $ e A invertibile come dovrei fare?
Non sono sicura di come fare per derivare il risultato dell'applicazione lineare... grazie mille..
Per vedere un altro esempio, per calcolare il gradiente di $ f(x)= ||Ax||^2 $ sempre con $ x in RR^n $ e A invertibile come dovrei fare?
Non sono sicura di come fare per derivare il risultato dell'applicazione lineare... grazie mille..
Un consiglio: scrivitela esplicitamente nel caso di due variabili, calcola, e poi usa la fantasia per generalizzare.
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