Gradiente di una funzione composta
Ciao a tutti, ho un dubbio sul seguente esercizio: $g(x,y)=(x^2 +y^3, xy^2+x^3)$, $f(u,v)=sin^2 (u) +1 - e^v$ : Calcolare il gradiente di f composto g in (1,-1). La soluzione riporta: $ f' (g (1, -1))\cdot Jac[g] (1,-1)= (-4e^2, 2e^2)$.
(perdonate $f'$, so che non ha senso ma non riesco a mettere la nabla)
Ed è chiaro: la derivata di una funzione composta è la derivata della funzione per la derivata dell'argomento, il che nel mio caso corrisponde al gradiente di f per la jacobiana di g.
Ho cominciato con la jacobiana di g: nella prima riga c'è il gradiente del primo componente, nella seconda il gradiente del secondo componente.
\begin{vmatrix} 2x & 3y^2 \\ y^2+3x^2 & 2xy \end{vmatrix}
Calcolata in $(1, -1)$ restituisce: \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = -16
Dopodichè ho calcolato $f( g (x, y)) = sin^2(x^2+y^3) + 1 - e^{xy^2+x^3}$,
di cui il gradiente: \begin{bmatrix} 4x\cdot sin^2(x^2+y^3)\cdot cos(x^2+y^3)-e^{xy^2+x^3}\cdot (y^2+3x^2) \\ 3y^2\cdot sin^2(x^2+y^3)\cdot cos(x^2+y^3)-e^{xy^2+x^3}\cdot (2xy) \end{bmatrix},
che valutato in $(1,-1)$ restituisce proprio: $(-4e^2, 2e^2)$
..solo che non ho ancora moltiplicato lo jacobiano, come mai ottengo già il risultato finale? I casi sono due: o svista del professore o (molto più probabile) qualche becero errore da parte mia..
(perdonate $f'$, so che non ha senso ma non riesco a mettere la nabla)
Ed è chiaro: la derivata di una funzione composta è la derivata della funzione per la derivata dell'argomento, il che nel mio caso corrisponde al gradiente di f per la jacobiana di g.
Ho cominciato con la jacobiana di g: nella prima riga c'è il gradiente del primo componente, nella seconda il gradiente del secondo componente.
\begin{vmatrix} 2x & 3y^2 \\ y^2+3x^2 & 2xy \end{vmatrix}
Calcolata in $(1, -1)$ restituisce: \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = -16
Dopodichè ho calcolato $f( g (x, y)) = sin^2(x^2+y^3) + 1 - e^{xy^2+x^3}$,
di cui il gradiente: \begin{bmatrix} 4x\cdot sin^2(x^2+y^3)\cdot cos(x^2+y^3)-e^{xy^2+x^3}\cdot (y^2+3x^2) \\ 3y^2\cdot sin^2(x^2+y^3)\cdot cos(x^2+y^3)-e^{xy^2+x^3}\cdot (2xy) \end{bmatrix},
che valutato in $(1,-1)$ restituisce proprio: $(-4e^2, 2e^2)$
..solo che non ho ancora moltiplicato lo jacobiano, come mai ottengo già il risultato finale? I casi sono due: o svista del professore o (molto più probabile) qualche becero errore da parte mia..
Risposte
Salve!
PER OTTENERE UN ULTERIORE VERIFICA
Io direi di valutare prima g composto f ovvero ...
$g(f1(x,y),f2(x,y))=sin^2(x^2+ y^3) +1 -e^(xy^2 +x^3)$
e poi calcolare direttamente la jacobiana della funzione
SE NOTI e' quello che hai fatto direttamente tu!
QUINDI..
Il tuo errore e' nel fatto che hai calcolato direttamente la jacobiana della funzione composta e non la jacobiana di g
la jacobiana di g infatti la calcoli derivando prima rispeto ad u e v e SOLO DOPO sostituendo con f1(x,y) e f2(x,y)
PER OTTENERE UN ULTERIORE VERIFICA
Io direi di valutare prima g composto f ovvero ...
$g(f1(x,y),f2(x,y))=sin^2(x^2+ y^3) +1 -e^(xy^2 +x^3)$
e poi calcolare direttamente la jacobiana della funzione
SE NOTI e' quello che hai fatto direttamente tu!
QUINDI..
Il tuo errore e' nel fatto che hai calcolato direttamente la jacobiana della funzione composta e non la jacobiana di g
la jacobiana di g infatti la calcoli derivando prima rispeto ad u e v e SOLO DOPO sostituendo con f1(x,y) e f2(x,y)
...e in effetti hai ragione, sostituendo prima e poi derivando, io ho calcolato la jacobiana di una funzione $g: R^2 \rightarrow R$, che è un vettore di due componenti, ovvero il gradiente..
Ok comunque penso di aver capito, l'esercizio è venuto!
Prima ho calcolato il gradiente di g: $2sin(u)\cdot cos(v), -e^v)$,
poi vi ho sostituito le componenti di $F$, valutate nel punto richiesto $(1,-1)$, ovvero $(0,2)$, ottenendo: $(0, -e^2)$,
infine ho fatto il prodotto righe per colonne fra questo e la jacobiana di f, valutata in $(1,-1)$ (che avevo già calcolato) e ho ottenuto proprio $ (-4e^2 , 2e^2)$
Perfetto, tutto chiaro! grazie mille davvero, gentilissimo e chiarissimo!
Ok comunque penso di aver capito, l'esercizio è venuto!
Prima ho calcolato il gradiente di g: $2sin(u)\cdot cos(v), -e^v)$,
poi vi ho sostituito le componenti di $F$, valutate nel punto richiesto $(1,-1)$, ovvero $(0,2)$, ottenendo: $(0, -e^2)$,
infine ho fatto il prodotto righe per colonne fra questo e la jacobiana di f, valutata in $(1,-1)$ (che avevo già calcolato) e ho ottenuto proprio $ (-4e^2 , 2e^2)$
Perfetto, tutto chiaro! grazie mille davvero, gentilissimo e chiarissimo!
\nabla produce $\nabla$
Di niente, grazie a te 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo