Gradiente di una funzione
Buonasera gente... in analisi due non ho ben capito alcuni concetti.. principalmente a livello grafico. So che le derivate parziali indicano la pendenza delle rette tangenti bla bla bla..... Ecco.. ma il gradiente, che ha comunque due valori uguali alle derivate parziali, cosa indica graficamente? Perchè se i due valori delle derivate parziali sono "la pendenza " delle rette, il gradiente coem fa ad avere come coordinate dei valori trovati non puntuali???
Grazie
ps: quando si deve usare la definizione col rapporto incrementale e quando invece derivando solo una variabile e mantenendo costante l'altra?
Grazie
ps: quando si deve usare la definizione col rapporto incrementale e quando invece derivando solo una variabile e mantenendo costante l'altra?
Risposte
Non sono un matematico, ma cercherò di farti capire 
Se hai chiari gli aspetti "matematici" è forse più facile riuscire a comprendere un significato grafico, anche se come diceva la mia prof, bisogna cercare di riuscire a capire prima i concetti matematici astratti ed eventualmente cercando una loro "rappresentazione".
Se hai una funzione differenziabile in un punto $x_0$ (quindi esistono le derivate parziali, gradiente, ecc...) significa che esiste una applicazione lineare aventi certe proprietà per cui fra l'altro hai che $\gradf(x_0)=L(x_0)$ se la funzione è a valori reali la definizione di differenziabilità dice che:
Una funzione è differenziabile se esiste $L:\mathbb{R^n}->\mathbb{R}$ tale che:
$lim_{h->0} (f(x_0+h)-f(x_0)-L(x_0)h)/|h|=0$
Interpretando questa funzione a livello fisico significa che esiste una approssimazione lineare per la funzione in $x_0$ se questa è differenziabile.
In una dimensione ($n=1$) hai che una, anzi l'unica approssimazione lineare possibile è attraverso una retta [nota]Questa cosa andrebbe dimostrata, a rigore![/nota]
In $n=2$ l'approssimazione lineare è costituita da un piano i cui "parametri direttori" sono proprio le componenti del gradiente.
Di fatti la migliore approssimazione lineare di $f(x)$ in $x_0$ (per gli amici, piano tangente $f$ in $x_0$[nota]Questa non è una conseguenza, ma una definizione! Io stesso prima del corso di Analisi 1 all'università facevo confusione. In realtà la retta tangente (vedi piano tangente in R2) non è una proprietà, ma per definizione è la retta che "meglio approssima linearmente" la funzione $f(x)$ in $x_0$[/nota]) è:
$f(x)=f(x_0)+\grad f(x_0) \cdot (x-x_0)$
Spero di aver chiarito i tuoi dubbi!
P.S. Per l'altro tuo quesito la risposta è più matematica.
La definizione di rapporto incrementale la devi utilizzare nei punti di non derivabilità parziale, proprio come facevi per le funzioni di una variabile!
Se hai chiari gli aspetti "matematici" è forse più facile riuscire a comprendere un significato grafico, anche se come diceva la mia prof, bisogna cercare di riuscire a capire prima i concetti matematici astratti ed eventualmente cercando una loro "rappresentazione".
Se hai una funzione differenziabile in un punto $x_0$ (quindi esistono le derivate parziali, gradiente, ecc...) significa che esiste una applicazione lineare aventi certe proprietà per cui fra l'altro hai che $\gradf(x_0)=L(x_0)$ se la funzione è a valori reali la definizione di differenziabilità dice che:
Una funzione è differenziabile se esiste $L:\mathbb{R^n}->\mathbb{R}$ tale che:
$lim_{h->0} (f(x_0+h)-f(x_0)-L(x_0)h)/|h|=0$
Interpretando questa funzione a livello fisico significa che esiste una approssimazione lineare per la funzione in $x_0$ se questa è differenziabile.
In una dimensione ($n=1$) hai che una, anzi l'unica approssimazione lineare possibile è attraverso una retta [nota]Questa cosa andrebbe dimostrata, a rigore![/nota]
In $n=2$ l'approssimazione lineare è costituita da un piano i cui "parametri direttori" sono proprio le componenti del gradiente.
Di fatti la migliore approssimazione lineare di $f(x)$ in $x_0$ (per gli amici, piano tangente $f$ in $x_0$[nota]Questa non è una conseguenza, ma una definizione! Io stesso prima del corso di Analisi 1 all'università facevo confusione. In realtà la retta tangente (vedi piano tangente in R2) non è una proprietà, ma per definizione è la retta che "meglio approssima linearmente" la funzione $f(x)$ in $x_0$[/nota]) è:
$f(x)=f(x_0)+\grad f(x_0) \cdot (x-x_0)$
Spero di aver chiarito i tuoi dubbi!
P.S. Per l'altro tuo quesito la risposta è più matematica.
La definizione di rapporto incrementale la devi utilizzare nei punti di non derivabilità parziale, proprio come facevi per le funzioni di una variabile!
Grazie per la risposta... ciò che chiedevo era un'altra cosa però.. tu ti sei soffermato sulla differenziabilità e piano tangente... io invece stavo chiedendo cosa è il gradiente a livello grafico... l'ho capito dopo una breve spiegazione. Comunque anche la tua rispota mi è utile 
"alby941":
Grazie per la risposta... ciò che chiedevo era un'altra cosa però.. tu ti sei soffermato sulla differenziabilità e piano tangente... io invece stavo chiedendo cosa è il gradiente a livello grafico... l'ho capito dopo una breve spiegazione. Comunque anche la tua rispota mi è utile
Felice di essere stato utile
Forse l'ho scritto in modo un po' enigmatico..e poco "chiaro", ma il gradiente lo puoi "vedere" come il vettore dei parametri direttori del piano...come la derivata è la pendenza della retta tangente..
si... ma graficamente intendevo dove veniva applicato, come mai aveva come coordinate uguali alle derivate parziali ( che indicano la pendenza di queste), e se era nel dominio o codominio... in parte mi è stato spiegato.. anche se la prof non si è soffermata troppo ... So che è ortogonale alle curve di livello e si puo vedere sia nel codominio che nel dominio... se hai da aggiungere altro ben venga
Il gradiente è applicato nel dominio e indica la direzione lungo la quale la funzione ha crescita massima. Se vuoi passare alla visualizzazione introdotta da Zurzaza, ti devi mettere nel prodotto cartesiano di dominio e codominio: parlando di funzioni di due variabili reali, esso è contenuto nello spazio tridimensionale \(\mathbb{R}^3\). Una funzione \(f\) dotata di gradiente nel punto \((x_0, y_0)\) è allora tale che la superficie di equazione \(z=f(x, y)\) (generalmente nota come grafico) ammette un unico piano tangente nel punto \((x_0, y_0, f(x_0, y_0))\) e questo piano tangente ha equazione
\[
z=f(x_0, y_0)+\nabla f(x_0, y_0)\cdot (x-x_0, y-y_0).
\]
Come dice Zurzaza, questo piano ha per "pendenza" il gradiente. Più precisamente, il vettore tridimensionale \[(\nabla f(x_0, y_0), -1)\] è un vettore normale al piano tangente nel punto \((x_0, y_0, f(x_0, y_0))\). (Normale significa che è ad esso ortogonale. ).
Ricapitolando, quindi:
il gradiente in sè è un vettore applicato nel dominio della funzione, MA
il vettore \((\nabla f(x_0, y_0), -1)\), visto come vettore applicato nel punto \((x_0, y_0, f(x_0, y_0))\), è un vettore applicato nel prodotto cartesiano di dominio e codominio.
Sono due diverse interpretazioni del gradiente che certe volte fanno confondere (almeno, io mi sono confuso).
\[
z=f(x_0, y_0)+\nabla f(x_0, y_0)\cdot (x-x_0, y-y_0).
\]
Come dice Zurzaza, questo piano ha per "pendenza" il gradiente. Più precisamente, il vettore tridimensionale \[(\nabla f(x_0, y_0), -1)\] è un vettore normale al piano tangente nel punto \((x_0, y_0, f(x_0, y_0))\). (Normale significa che è ad esso ortogonale. ).
Ricapitolando, quindi:
il gradiente in sè è un vettore applicato nel dominio della funzione, MA
il vettore \((\nabla f(x_0, y_0), -1)\), visto come vettore applicato nel punto \((x_0, y_0, f(x_0, y_0))\), è un vettore applicato nel prodotto cartesiano di dominio e codominio.
Sono due diverse interpretazioni del gradiente che certe volte fanno confondere (almeno, io mi sono confuso).
Bravissimo dissonance, come al solito riesci a spiegarti bene! (Molto meglio di un ingegnere almeno )
E' la stessa confusione che si genera tra curva e suo sostegno, sono due cose ben diverse!
Io in effetti stavo illustrando il significato del gradiente "in" $mathbb{R}^(n+1)$ (strettamente legato al piano tangente) mentre invece in$mathbb{R}^n$ rappresenta proprio la direzione di massima crescita.
Effettivamente ho fatto confusione anche io..
)E' la stessa confusione che si genera tra curva e suo sostegno, sono due cose ben diverse!
Io in effetti stavo illustrando il significato del gradiente "in" $mathbb{R}^(n+1)$ (strettamente legato al piano tangente) mentre invece in$mathbb{R}^n$ rappresenta proprio la direzione di massima crescita.
Effettivamente ho fatto confusione anche io..
Grazie ad entrambi, dissonance molto chiaro.. mi sfugge però quel -1 all'interno delle coordinate.
L'unico modo per capirlo è farsi un disegno.
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