Gradiente di prodotto scalare

[thedarkhero]

Sia $f:RR->RR$ una funzione liscia.
Voglio calcolare $\nabla (f \cdot f)$, cioè il gradiente del prodotto scalare di $f$ con se stessa (cioè la derivata del prodotto scalare con se stessa).
Ho che $\nabla (f \cdot f) = (\nabla f) f + f (\nabla f) = 2 (\nabla f) f$.

Se ora considero una funzione $g:RR^n->RR^n$ liscia, vale una formula analoga per $\nabla (g \cdot g)$?

[Bokonon]

Si poteva fare anche così:
$nabla(f*f)=nabla(f^2)=2fnabla(f)$
La risposta alla domanda è si.

[feddy]

"thedarkhero":
Se ora considero una funzione $g:RR^n->RR^n$ liscia, vale una formula analoga per $\nabla (g \cdot g)$?

$g \cdot g $ altro non è che $|g(x)|^2$, dunque la funzione che devi derivare è da $\mathbb{R}^n$ in $\mathbb{R}$ e puoi applicare la regola della catena per trovarne il gradiente.

Oppure, facendo un conto esplicito per componenti ti puoi convincere in fretta per $n=3$:

$$|g(x)|^2 = g_1(x)^2 + g_2(x)^2 + g_3(x)^2$$

L'i-esima componente del gradiente è $$\frac{\partial }{\partial x_i} (g_1(x)^2 + g_2(x)^2 + g_3(x)^2) = 2 \Bigl( g_1(x) \frac{\partial g_1}{\partial x_i} + g_2(x) \frac{\partial g_2}{\partial x_i} + g_3(x) \frac{\partial g_3}{\partial x_i}\Bigr) $$

che puoi notare essere il prodotto scalare tra l'-iesima colonna della matrice jacobiana di $f$ (ricorda che $f$ è a valori vettoriali) e il gradiente di $g$ (scritto come vettore colonna, ovviamente tutto moltiplicato per $2$), che è quello che otterresti usando pedissequamente la formula che trovi su ogni libro di testo.