GRADIENTE di funzioni a più variabili
Ciao a tutti!
Per favore qualcuno potrebbe spiegarmi in parole povere come posso interpretare "visivamente" il vettore gradiente di una funzione di più variabili?In particolare che significato ha, CHE INDICAZIONI FORNISCE per una determinata funzione e cosa rappresenta.
Ve ne sarei infinitamente grato!!!
Per favore qualcuno potrebbe spiegarmi in parole povere come posso interpretare "visivamente" il vettore gradiente di una funzione di più variabili?In particolare che significato ha, CHE INDICAZIONI FORNISCE per una determinata funzione e cosa rappresenta.
Ve ne sarei infinitamente grato!!!
Risposte
Allora sia f:R^n->R si definisce gradiente di f il vettore (df/dxi....) Per ogni i=1,2,3....n
in uno spazio bidimenzionale lo puoi considerare come un vettore normale alla funzione stessa, ci fornisce informazioni sull'andamento di f, anche se per determinare la natura dei punti critici della funzione è necessario ricorrere all'analisi della matrice Hessiana
in uno spazio bidimenzionale lo puoi considerare come un vettore normale alla funzione stessa, ci fornisce informazioni sull'andamento di f, anche se per determinare la natura dei punti critici della funzione è necessario ricorrere all'analisi della matrice Hessiana
Quindi in parole povere mi da informazioni su crescenza e decrescenza di una funzione? sui massimi e sui minimi?
Poi un'altra cosa: dato che il gradiente è il vettore che ha come componenti le derivate parziali rispetto alle variabili indipendenti della funzione, se io lo calcolo in un punto, per esempio, mi dice come è l'andamento della funzione lì (se cresce, decresce)? E in che modo rappresenta crescenza e decrescenza?
Poi un'altra cosa: dato che il gradiente è il vettore che ha come componenti le derivate parziali rispetto alle variabili indipendenti della funzione, se io lo calcolo in un punto, per esempio, mi dice come è l'andamento della funzione lì (se cresce, decresce)? E in che modo rappresenta crescenza e decrescenza?
lo si vede bene per una funzione di 2 variabili z(x,y):
il gradiente in un punto è (come dice il nome) la pendenza (e la direzione) della linea di massima pendenza in quel punto (la max. derivata direzionale).
mi spiego:
ti porti in un punto della superficie z(x,y), ci versi un bicchier d'acqua, noti la traccia che lascia scendendo (puoi osservare che in ogni punto è perpendicolare alle curve di livello z=cost); in ogni punto la pendenza e la direzione (presa verso l'alto) di quella traccia sono il gradiente della funzione in quel punto.
tony
il gradiente in un punto è (come dice il nome) la pendenza (e la direzione) della linea di massima pendenza in quel punto (la max. derivata direzionale).
mi spiego:
ti porti in un punto della superficie z(x,y), ci versi un bicchier d'acqua, noti la traccia che lascia scendendo (puoi osservare che in ogni punto è perpendicolare alle curve di livello z=cost); in ogni punto la pendenza e la direzione (presa verso l'alto) di quella traccia sono il gradiente della funzione in quel punto.
tony
Ringrazio tantissimo sia GIOVANNI IL CHIMICO che TONY!!!
L'esempio del bicchiere d'acqua è stato determinante!!!
Ora mi sono fatto un'idea...grazie veramente!
L'esempio del bicchiere d'acqua è stato determinante!!!
Ora mi sono fatto un'idea...grazie veramente!
noncèdicche da tony.
pero', attento, BioNous: se vuoi far quadrare le affermazioni mie con quelle del CHIMICO, ti accorgerai che il gradiente come lo definivo io è un vettore, orientato "in senso positivo" lungo la linea di massima pendenza della funzione nel punto in esame, e quindi tangente alla funz. nel punto,
mentre secondo lui, (e non riesco a seguire completamente il suo discorso) ...
ai posteri l'ardua sentenza.
tony
pero', attento, BioNous: se vuoi far quadrare le affermazioni mie con quelle del CHIMICO, ti accorgerai che il gradiente come lo definivo io è un vettore, orientato "in senso positivo" lungo la linea di massima pendenza della funzione nel punto in esame, e quindi tangente alla funz. nel punto,
mentre secondo lui, (e non riesco a seguire completamente il suo discorso) ...
quote:sembrerebbe normale.
Allora sia f:R^n->R si definisce gradiente di f il vettore (df/dxi....) Per ogni i=1,2,3....n
in uno spazio bidimenzionale lo puoi considerare come un vettore normale alla funzione stessa, ci fornisce informazioni sull'andamento di f, anche se per determinare la natura dei punti critici della funzione è necessario ricorrere all'analisi della matrice Hessiana
il grassetto è messo da tony
ai posteri l'ardua sentenza.
tony
sì, Tony, ho sbagliato a scrivere, ovviamente è Tangente alla superficie....,mentre è normale alle curve di livello, o isolinee
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