Gradiente, derivata direzione:significato geometrico

[papidica]

ciao...scusate se faccio questa domanda ma è un dubbio che mi assilla da giorni...
1) per gradiente si intende il vettore che ha come componenti le derivate prime della funzione f(x,y) rispetto alla x ed alla y. il suo significato geometrico che si trova su tutti i testi di analisi 2 è "la direzione di massima o minima pendenza" senza specificare a cosa si riferisce; o meglio, stiamo parlando di "massima o minima pendenza" della funzione???

2)la derivata direzionale è invece, il prodotto scalare tra il grad(f) e una direzione v. tale derivata, dal punto di vista geometrico cosa indica? il coefficente angolare della retta tangente la funzione in un punto p(x, y) secondo la direzione v o la pendenza del piano tangente la funzione in un punto p(a,b) secondo una direzione v???

grazie a tutti...

[lordb]

1) Il gradiente è un vettore ortogonale alle curve di livello della funzione, qui trovi delle dimostrazioni http://www.matematicamente.it/forum/gradiente-t100768.html, e quindi indica la direzione di massimo incremento.

2) Per quanto riguarda le derivate direzionali (e quindi quelle parziali) dovresti vedere un libro di Analisi II per i disegni, comunque per funzioni scalari di $2$ variabili è data dalla tangente (trigonometrica) dell'angolo formato dal piano $xy$ con la retta tangente al grafico della funzione nel punto in questione considerata (la funzione) lungo la retta indicata dalla direzione del versore...