Gradiente del modulo di un campo vettoriale
Nel mezzo del ragionamento che conduce all'equazone iconale, sul mio testo di Fisica trovo:
Osserviamo che per un qualsiasi campo vettoriale [tex]\vec A[/tex] vale :
[tex]\frac{\partial{ }}{\partial s} \vec A= grad |\vec A|[/tex], dove s indica l'ascissa curvilinea relativa alla curva corrispondente alla direzione di [tex]\vec A[/tex].
Per dimostrarlo vengono calcolati entrambi i membri dell'equazione. Nel calcolo del primo non ho problemi, nel secondo non capisco:
[tex]grad |\vec A |= \frac{\partial |\vec A |}{\partial x } \vec x +\frac{\partial |\vec A |}{\partial y } \vec y +\frac{\partial |\vec A |}{\partial z } \vec z= \frac{\partial }{\partial x } \sqrt{{A_x}^2+{A_y}^2+{A_z}^2} \vec x+ \frac{\partial }{\partial y } \sqrt{{A_x}^2+{A_y}^2+{A_z}^2} \vec y+ \frac{\partial }{\partial z } \sqrt{{A_x}^2+{A_y}^2+{A_z}^2} \vec z= \frac{1}{2|\vec A|} [2A_x \frac{\partial}{\partial x} A_x + 2A_y \frac{\partial}{\partial y} A_y + 2A_z \frac{\partial}{\partial z} A_z ][/tex].
In pratica non mi è chiaro perchè quando è stata applicata la chain rule nella derivazione della radice, si è supposto che, per esempio, [tex]A_y[/tex] e [tex]A_z[/tex] non dipendono da x...
Grazie.
Osserviamo che per un qualsiasi campo vettoriale [tex]\vec A[/tex] vale :
[tex]\frac{\partial{ }}{\partial s} \vec A= grad |\vec A|[/tex], dove s indica l'ascissa curvilinea relativa alla curva corrispondente alla direzione di [tex]\vec A[/tex].
Per dimostrarlo vengono calcolati entrambi i membri dell'equazione. Nel calcolo del primo non ho problemi, nel secondo non capisco:
[tex]grad |\vec A |= \frac{\partial |\vec A |}{\partial x } \vec x +\frac{\partial |\vec A |}{\partial y } \vec y +\frac{\partial |\vec A |}{\partial z } \vec z= \frac{\partial }{\partial x } \sqrt{{A_x}^2+{A_y}^2+{A_z}^2} \vec x+ \frac{\partial }{\partial y } \sqrt{{A_x}^2+{A_y}^2+{A_z}^2} \vec y+ \frac{\partial }{\partial z } \sqrt{{A_x}^2+{A_y}^2+{A_z}^2} \vec z= \frac{1}{2|\vec A|} [2A_x \frac{\partial}{\partial x} A_x + 2A_y \frac{\partial}{\partial y} A_y + 2A_z \frac{\partial}{\partial z} A_z ][/tex].
In pratica non mi è chiaro perchè quando è stata applicata la chain rule nella derivazione della radice, si è supposto che, per esempio, [tex]A_y[/tex] e [tex]A_z[/tex] non dipendono da x...
Grazie.
Risposte
Non fa nessuna particolare ipotesi su $\vec{A}$?
A me verrebbe che $grad|vec{A}|=\frac{1}{|\vec{A}|}((\sum_{i=1}^3 A_{i}(\delA_{i})/(\delx_1));(\sum_{i=1}^3 A_{i}(\delA_{i})/(\delx_2));(\sum_{i=1}^3 A_{i}(\delA_{i})/(\delx_3)))$.
A me verrebbe che $grad|vec{A}|=\frac{1}{|\vec{A}|}((\sum_{i=1}^3 A_{i}(\delA_{i})/(\delx_1));(\sum_{i=1}^3 A_{i}(\delA_{i})/(\delx_2));(\sum_{i=1}^3 A_{i}(\delA_{i})/(\delx_3)))$.
Sì, sono d'accordo con te, e quindi quella uguaglianza non è valida. Il campo A è generico.
Per caso hai mai visto quella relazione in ambito puramente matematico? Vorrei capire se è semplicemente un errore dell'autore o qualcosa mi sfugge.
Per caso hai mai visto quella relazione in ambito puramente matematico? Vorrei capire se è semplicemente un errore dell'autore o qualcosa mi sfugge.
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