Gradiente

[Linux1987]

Salve , ho letto che il gradiente in una funzione di 2 variabili è sempre perpendicolare alle linee di livello ! Perchè?
Oltre che una dimostrazione analitica gradirei anche una spiegazione geometrica grazie mille!!

[lordb]

Allora sia $f:R^2->R$ di classe $C^1_RR$.

Si ha $gradf(\veca)=((\partialf(\veca))/(\partialx),(\partialf(\veca))/(\partialy))$ ovvero un vettore di $RR^2$.

$df:RR^2->L(RR^2,RR),\vecx->df(\vecx)$ è una forma differenziale lineare.
$df(\vecx):RR^2->RR,\vec h->df(\vecx)(\vec h)$ è una forma lineare.

Quindi $df(\veca)(\vec h)=sum_(i=1)^2D_i f(\veca)h_i=$ è un numero reale.

Supponiamo $\vec h$ tangente alla curva di livello ${(x,y)inRR^2|f(x,y)=f(\veca)}$, sappiamo che se ci "spostiamo sulla curva" la funzione assume gli stessi valori. Quindi per $\vec h $ molto "piccolo" si ha $f(\veca+\vech)~=f(\veca)$ dunque $f(\veca+\vech)-f(\veca)~=0$.

Per definizione di differenziale di una funzione in un punto si ha che $lim_(||\vec h->0||)(f(\veca+\vech)-f(\veca)-df(\veca)(\vec h))/||\vec h||=0$, ovvero che $f(\veca+\vech)-f(\veca)\sim_(||\vec h|| ->0)df(\veca)(\vec h)$.

Ma $f(\veca+\vech)-f(\veca)=0$ $=>$ $df(\veca)(\vec h)=0$ $<=>$ $$$=0$ ovvero $gradf(\veca)\bot \vec h$.

edit: Si può anche dimostrare ciò sapendo che la curva di livello è una sottovarietà $\text{1-dimensionale}$ e basta dimostrare che $grad f (x,y)$ appartiene allo spazio normale della sottovarietà.

[Sk_Anonymous]

Avendo semplici nozioni di geometria differenziale, se $\{(x=x(t)),(y=y(t)):}$ è una curva di livello in forma parametrica, allora $f(x(t),y(t))=k$. Derivando: $(delf)/(delx)(dx)/(dt)+(delf)/(dely)(dy)/(dt)=0$. Siccome il vettore $((dx)/(dt),(dy)/(dt))$ è tangente alla curva di livello, si ottiene il risultato voluto.

[Linux1987]

@speculor: scusami derivando cosa?? ps. la tua spiegazione mi risulta più semplice!!

[Sk_Anonymous]

Derivando la funzione di una sola variabile $F(t)=f(x(t),y(t))$, restrizione della funzione di due variabili $f(x,y)$ sulla curva di livello $\{(x=x(t)),(y=y(t)):}$. Evidentemente, se ti sposti sulla curva di livello al variare di $t$, la funzione $F(t)$ assume un valore costante, quindi la sua derivata è nulla. Per il calcolo della derivata, devi applicare la regola di derivazione di funzione composta in più variabili: $(dF)/(dt)=(delf)/(delx)(dx)/(dt)+(delf)/(dely)(dy)/(dt)$. Questo non toglie che si debba saper procedere anche nell'altro modo, quello del primo intervento per intenderci.

[Linux1987]

ok ma l'uguale a 0 da dove discende?

[Sk_Anonymous]

Quella funzione è costante al variare di $[t]$, la sua derivata deve essere nulla: $[(dF)/(dt)=(delf)/(delx)(dx)/(dt)+(delf)/(dely)(dy)/(dt)=0]$