Gradiente
Ciao a tutti, avrei questo problema:
Il vettore gradiente (supponiamo per semplicità funzioni di due variabili) può essere costruito utilizzando una diversa base ortogonale con componenti ad es. (fv1,fv2), derivate direzionali con direzioni ortogonali tra loro?
Inoltre, la formula del gradiente per il calcolo delle derivate direzionali funziona solo se considero una base ortogonale?
grazie a tutti
Il vettore gradiente (supponiamo per semplicità funzioni di due variabili) può essere costruito utilizzando una diversa base ortogonale con componenti ad es. (fv1,fv2), derivate direzionali con direzioni ortogonali tra loro?
Inoltre, la formula del gradiente per il calcolo delle derivate direzionali funziona solo se considero una base ortogonale?
grazie a tutti
Risposte
Io direi che l'ortogonalita' non e' necessaria, basta avere una base sullo spazio tangente. Quando parli di "formula del gradiente per il calcolo delle der. dir." credo tu voglia dire che dal gradiente ottieni le derivate direzionali grazie alla proezione col prodotto scalare. In quel caso ti serve che la base di vettori tangenti sia ortonormale.
Grazie per la risposta, ma ragionando sempre in R2, una base sullo spazio tangente costituita da due vettori l.i. aventi modulo pari al valore delle due derivate direzionali mi da come risultante sempre la direzione di max pendenza ?
Riguardo alla formula del gradiente per il calcolo delle derivate direzionali intendevo la combinazione lineare delle due derivate parziali (fv1*cos(a)+fv2*sin(a)). Se ho ben capito, in parole povere, i vettori tangenti devono costituire una base ortogonale in modo tale da
verificare il valore max e min del seno e del coseno nell'intervallo (0-pi/2) ?
Perdonami il linguaggio ma sono un principiante.
Riguardo alla formula del gradiente per il calcolo delle derivate direzionali intendevo la combinazione lineare delle due derivate parziali (fv1*cos(a)+fv2*sin(a)). Se ho ben capito, in parole povere, i vettori tangenti devono costituire una base ortogonale in modo tale da
verificare il valore max e min del seno e del coseno nell'intervallo (0-pi/2) ?
Perdonami il linguaggio ma sono un principiante.
"meck":
Ciao a tutti, avrei questo problema:
Il vettore gradiente (supponiamo per semplicità funzioni di due variabili) può essere costruito utilizzando una diversa base ortogonale con componenti ad es. (fv1,fv2), derivate direzionali con direzioni ortogonali tra loro?
Inoltre, la formula del gradiente per il calcolo delle derivate direzionali funziona solo se considero una base ortogonale?
grazie a tutti
il vettore gradiente si costruisce calcolando le derivate parziali. a livello geometrico è ovvio che se ti trovi in $RR^2$ e hai 2 vettori linearmente indipendenti nel piano xy (se sono ortogonali di sicuro sono indipendenti), con la loro combinazione lineare ottieni qualunque vettore del piano stesso. ma questa resta una considerazione di poco interesse.
la formula del gradiente funziona con qualunque vettore, non solo versori (non c'entrano basi ortonormali, ortogonali o cose simili): la condizione sufficiente è che f sia differenziabile. se poi vuoi trovarti la derivata "canonica", allora c'è la necessità che il vettore v sia un versore.
per rispondere all'ultimo post (anche se devo dire non si capisce molto), v = (cos(a), sin(a)) è un versore qualsiasi, a assume un valore qualsiasi. il gradiente ti dà la direzione di massima crescita di f, perchè il massimo valore del prodotto scalare ti viene dato quando l'angolo tra $grad f$ e $v$ è $0$ oppure $2 pi$ (o un suo multiplo)
Grazie per la risposta, scusami per il linguaggio non formale ma sono un principiante.
Quello in realtà che non mi è chiaro (sempre nel caso di due variabili e supponendo la sunzione differenziabile) è perchè,
per ottenere la direzione di max pendenza sul piano tangente devo prendere il vettore avente come componenti le
derivate parziali rispetto a x e rispetto ad y, come si spiega questo geometricamente ?.
Cioè posso individuare due qualsiasi derivate direzionali e costruire un vettore che individua la pendenza massima del piano tangente nella stessa direzione del gradiente ?
Spero di essere stato sufficentemente chiaro
Quello in realtà che non mi è chiaro (sempre nel caso di due variabili e supponendo la sunzione differenziabile) è perchè,
per ottenere la direzione di max pendenza sul piano tangente devo prendere il vettore avente come componenti le
derivate parziali rispetto a x e rispetto ad y, come si spiega questo geometricamente ?.
Cioè posso individuare due qualsiasi derivate direzionali e costruire un vettore che individua la pendenza massima del piano tangente nella stessa direzione del gradiente ?
Spero di essere stato sufficentemente chiaro
"meck":No. Non due qualsiasi derivate direzionali. Ti servono due derivate direzionali lungo due direzioni ortogonali. Per esempio vanno benissimo le due derivate parziali, che sono prese lungo le direzioni individuate dai versori $(1, 0), (0, 1)$. Andavano benissimo anche le derivate lungo le direzioni $1/2(sqrt(2), sqrt(2)), 1/2(-sqrt(2), sqrt(2))$, per dire. Vedi https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#350305
Cioè posso individuare due qualsiasi derivate direzionali e costruire un vettore che individua la pendenza massima del piano tangente nella stessa direzione del gradiente ?
Grazie per la risposta e soprattutto per la pazienza.
Ho dato un'occhiata al link e la parte che mi interessa è quella relativa all'intervento di "dissonance" sul concetto di base ortonormale e base duale, l'argomento non mi sembra molto semplice ma cercherò di approfondirlo meglio su qualche buon testo.
grazie ancora
Ho dato un'occhiata al link e la parte che mi interessa è quella relativa all'intervento di "dissonance" sul concetto di base ortonormale e base duale, l'argomento non mi sembra molto semplice ma cercherò di approfondirlo meglio su qualche buon testo.
grazie ancora
Questo punto non è quasi mai spiegato sui libri, ecco perché ti confondi. Non è molto semplice per me spiegarti ora il motivo della base ortonormale, dovrei prima introdurre i concetti di spazio duale e di differenziale. Una via alternativa è partire dalla formula nota
$\frac{\partial f}{\partial v}(x)=\nabla f(x) * v$
dove $nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x_1}\ldots \frac{\partial f}{\partial x_n})$, poi introdurre un cambiamento di variabili
$x=My$ (si intende che $x, y$ sono vettori e $M$ una matrice)
con $M$ matrice ortogonale nel senso che $M^TM=I$; geometricamente significa che stiamo prendendo un altro sistema di coordinate cartesiane, sempre con la stessa origine e conservando l'ortogonalità degli assi.
In particolare esiste un unico vettore $w$ tale che $v=Mw$; ora si tratta di fare un po' di conti per calcolare l'espressione di $\nabla f$ nel nuovo sistema di coordinate (si deve scrivere $f(x)=f(My)$ e usare il teorema di derivazione delle funzioni composte - si intende che le variabili indipendenti sono ora le $y_i$).
A conti fatti risulterà che $\nabla f(x) * v= M\nabla f(My)*Mw$ e in quest'ultima espressione le due matrici $M$ si semplificano, perché ti ricordo che in generale $Mp*q=p*M^Tq$ e noi abbiamo supposto $M^T M=I$. Allora $\nabla f(x)*v= \nablaf (My)*w$, ovvero la derivata direzionale nel nuovo sistema di coordinate si calcola ancora secondo la stessa regola che usavamo nel vecchio.
Se invece la matrice $M$ non fosse stata ortogonale, il che corrisponde ad introdurre un sistema di coordinate cartesiane con assi non ortogonali, non si sarebbe semplificata.
$\frac{\partial f}{\partial v}(x)=\nabla f(x) * v$
dove $nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x_1}\ldots \frac{\partial f}{\partial x_n})$, poi introdurre un cambiamento di variabili
$x=My$ (si intende che $x, y$ sono vettori e $M$ una matrice)
con $M$ matrice ortogonale nel senso che $M^TM=I$; geometricamente significa che stiamo prendendo un altro sistema di coordinate cartesiane, sempre con la stessa origine e conservando l'ortogonalità degli assi.
In particolare esiste un unico vettore $w$ tale che $v=Mw$; ora si tratta di fare un po' di conti per calcolare l'espressione di $\nabla f$ nel nuovo sistema di coordinate (si deve scrivere $f(x)=f(My)$ e usare il teorema di derivazione delle funzioni composte - si intende che le variabili indipendenti sono ora le $y_i$).
A conti fatti risulterà che $\nabla f(x) * v= M\nabla f(My)*Mw$ e in quest'ultima espressione le due matrici $M$ si semplificano, perché ti ricordo che in generale $Mp*q=p*M^Tq$ e noi abbiamo supposto $M^T M=I$. Allora $\nabla f(x)*v= \nablaf (My)*w$, ovvero la derivata direzionale nel nuovo sistema di coordinate si calcola ancora secondo la stessa regola che usavamo nel vecchio.
Se invece la matrice $M$ non fosse stata ortogonale, il che corrisponde ad introdurre un sistema di coordinate cartesiane con assi non ortogonali, non si sarebbe semplificata.
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