Gradiente

[pirata111]

Scusate ragazzi, sarà una domanda banale:
perchè il gradiente di una funzione di $n$ variabili indica la direzione di massimo incremento della funzione stessa?

grazie.

[Luca.Lussardi]

Biosgna fare il conticino... prendi la formula che lega gradiente e derivata direzionale e mettici un generico versore.

[Alexp1]

Per farti capire dal punto di vista intuitivo, consideriamo una fuzione scalare di due variabili, ossia $z=f(x,y)$
indico con $f_x$ la derivata parziale della variabile $x$ e con $f_y$ la derivata parziale della variabile $y$.

Ora la formula per calcolare la derivata direzionale (qualora la funzione sia differenziabile) è $f_x*cos(\alpha)+f_y*sen(\alpha)$....ti accorgerai che la risultante non è nient'altro che l'ipotenusa del triangolo che ha per cateti le due derivate parziali...ipotizzando di essere sul piano tg formato dai due vettori-derivate parziali, tali vettori hanno la direzione degli assi cartesiani, quindi il parallelogramma che si disegna avrà come diagonale, proprio l'ipotenusa del triangolo rettangolo in questione.
L'ipotenusa ovviamente è il "segmento" più lungo che si può disegnare partendo dall'origine e rimanendo entro il parallelogramma disegnato.

Le coordinate di tale vettore-ipotenusa sono le due derivate parziali, ossia è il vettore gradiente, ecco perchè è la direzione in cui la derivata direzionale assume massimo valore.

[pirata111]

Ragazzi scusate per il ritardo... Ma non mi è così chiaro. Grazie lo stesso.

[apatriarca]

La derivata direzionale in $P$ lungo la direzione $\vec{v}$ è uguale alla derivata in $0$ della funzione composta $f*\alpha$ dove $\alpha$ è una curva tale che $\alpha(0) = P$ e $\alpha'(0) = \vec{v}$. In particolare possiamo considerare semplicemente $\alpha(t) = P + t*\vec{v}$. Quindi $d/(dt) f(P + t*\vec{v}) = \sum_{i=1}^{N} (delf)/(delx_i) v_i = <\grad f, \vec v>$. Da quest'ultima formula appare evidente che la derivata parziale è massima quando il vettore è parallelo al gradiente.