Gradiente
Ciao...
qualcuno sa dimostrarmi come mai il gradiente e orientato nel verso di f crescente?
grazie ciao
qualcuno sa dimostrarmi come mai il gradiente e orientato nel verso di f crescente?
grazie ciao
Risposte
Pensa a come si costruisce la derivata usando il rapporto incrementale.
ho bisogno che me lo facciate vedere...sul mio "libro"ho trovato:
"Che il gradiente abbia segno concorde con il crescere di f segue dal fatto che se consideriamo la derivata della f lungo una retta ortogonale ad una qualunque curva di livello e nel verso del gradiente stesso, troviamo, applicando la formula della derivata totale con v=gradf $nablaf^2>=0$"
non ho capito come fare la derivata lungo una retta ortogonale a una superficie di livello. E poi, come mai trovo v=gradf??
"Che il gradiente abbia segno concorde con il crescere di f segue dal fatto che se consideriamo la derivata della f lungo una retta ortogonale ad una qualunque curva di livello e nel verso del gradiente stesso, troviamo, applicando la formula della derivata totale con v=gradf $nablaf^2>=0$"
non ho capito come fare la derivata lungo una retta ortogonale a una superficie di livello. E poi, come mai trovo v=gradf??
La derivata lungo una certa direzione si ottiene facendo il prodotto scalare tra il vettore gradiente ed il versore di quella direzione.
se $f$ è differenziabile in $x in RR^n$ allora ammette derivata direzionale in ogni direzione $lambda in RR^n$ e tale derivata vale:
$(del f)/(dellambda)=$ dove $Df$ è il gradiente di $f$
sia ora $lambda: |lambda|=1$
per la disuguaglianza di cauchy-schwarz
$|(delf)/(dellambda)<=|Df||lambda|=|Df|$
pertanto in generale si ha:
$-|Df|<=(del(f))/(del(lambda))<=|Df|$
inoltre se $Df!=0$ risulta $(del f)/(del lambda)=|Df|$ se e soltanto se $lambda$ è la direzione e il verso del gradiente.
invece $(del f)/(del lambda)=-|Df|$ se e soltanto se $lambda$ è la direzione del gradiente ma con verso opposto.
ne segue che il vettore $Df$ se non nullo indiaìca la direzione ed il verso in cui la derivata direzionale è massima cioè se non nullo il gradiente indica la direzione di massima pendenza.
ciao
$(del f)/(dellambda)=
sia ora $lambda: |lambda|=1$
per la disuguaglianza di cauchy-schwarz
$|(delf)/(dellambda)<=|Df||lambda|=|Df|$
pertanto in generale si ha:
$-|Df|<=(del(f))/(del(lambda))<=|Df|$
inoltre se $Df!=0$ risulta $(del f)/(del lambda)=|Df|$ se e soltanto se $lambda$ è la direzione e il verso del gradiente.
invece $(del f)/(del lambda)=-|Df|$ se e soltanto se $lambda$ è la direzione del gradiente ma con verso opposto.
ne segue che il vettore $Df$ se non nullo indiaìca la direzione ed il verso in cui la derivata direzionale è massima cioè se non nullo il gradiente indica la direzione di massima pendenza.
ciao
"GIOVANNI IL CHIMICO":
La derivata lungo una certa direzione si ottiene facendo il prodotto scalare tra il vettore gradiente ed il versore di quella direzione.
Questo però è vero solo se f è differenziabile nel punto dove si vuole calcolare la derivata direzionale!
Hai ragione.
allora io so che la derivata totale e $nablaf*v$ dove $nablaf$ e il gradiente e v e il vettore che salta fuori dall eq. parametrica di una una qualche f, che io immagino come la velocita con la quale si muove un punto lungo la curva (sbaglio??) ora non capisco come mai per dimostrare che il gradiente e sempre nel verso positivo si e trovato che $v=nablaf$ e quindi la derivata tot. della funz. presa in considerazione diventa $nablaf^2>=0$
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