GLUG! altra eq diff

[Sk_Anonymous]

$y'=(y-t)/(y+t)=(1+t/y)/(1+t/y)

sia $f(t)=(y(t))/t rArr y(t)=t*f(t) rArr y'(t)=f'(t)*t+f(t)

allora

$f't+f=(1-1/f)/(1+1/f)=(f-1)/(f+1) rArr f't=(f-1)/(f+1)-v rArr f't=-(1+f^2)/(f+1)

cioè $(f(t)+1)/(1+f^2(t))*f'(t)=-1/t rArr int (f(t)+1)/(1+f^2(t))*f'(t) dt =-int1/tdt

sia ora $f(t)=k rArr f'(t)dt=dk
il primo integrale diventa
$int(k+1)/(k^2+1)dk=intk/(k^2+1)dk+int1/(1+k^2)dk=1/2ln(1+k^2)+atank

ho sbagliato il procedimento o siamo in un caso in cui la funzione non è invertibile? (strano xche questi esercizi dovrebbero essere risolubili "elementarmente")

[pat871]

Il procedimento è corretto. Non è detto che la data soluzione sia possibile risolverla esplicitamente su y! A volte la soluzione più elegante che potresti trovare è appunto un "fascio" di curve, che cambiano a dipendenza della costante di integrazione.
Considera per esempio un'equazione differenziale esatta:
$p(x,y) + q(x,y)y' = 0$, con la condizione che $(partial p)/(partial y) = (partial q)/(partial x)$
Si può dimostrare che una soluzione all'equazione differenziale data è:
$F(x,y) = c$
dove $c$ è una costante, mentre
$nabla F = (p, q)$

In questo caso non è garantito che si possa sempre esprimere su y la soluzione