Globalità soluzione sistema differenziale

[mody91]

Ciao! Avrei bisogno di alcune conferme!
Ho il seguente sistema di due equazioni differenziali autonomo (scritto in forma vettoriale) $x'=f(x) $
Suppongo che $f \in C^{1}(A;\mathbb{R^{2}})$ con A sottoinsieme aperto di $\mathbb{R^{2}}$. (*)

Per avere esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati iniziali ho bisogno che f sia $C(A) \cap Lip_{loc}(A)$, ma visto che f è $C^{1}$ è automaticamente $C(A) \cap Lip_{loc}(A)$.
Giusto?

Inoltre per quanto riguarda la globalità delle soluzioni: ho che una soluzione è globale se è definita su tutto il suo dominio.
Conosco due condizioni sufficienti a dire se la soluzioni è globale (sublinearità e il fatto che la soluzione in norma è limitata) ma non conoscendo nè f nè la soluzione non li posso applicare.
Allora come faccio a vedere se la soluzione è globale avendo la sola ipotesi (*)?
(La professoressa mi ha detto che la soluzione è globale ma non riesco a capire il perchè!)
Grazie

[Luca.Lussardi]

"mody91":Ciao! Avrei bisogno di alcune conferme!
Ho il seguente sistema di due equazioni differenziali autonomo (scritto in forma vettoriale) $x'=f(x) $
Suppongo che $f \in C^{1}(A;\mathbb{R^{2}})$ con A sottoinsieme aperto di $\mathbb{R^{2}}$. (*)

Per avere esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati iniziali ho bisogno che f sia $C(A) \cap Lip_{loc}(A)$, ma visto che f è $C^{1}$ è automaticamente $C(A) \cap Lip_{loc}(A)$.
Giusto?

Giusto

"mody91":
Inoltre per quanto riguarda la globalità delle soluzioni: ho che una soluzione è globale se è definita su tutto il suo dominio.

Questa è una tautologia, ogni funzione è definita nel suo dominio, per definizione di dominio. Di solito una soluzione di un sistema di equazioni differenziali ordinarie si dice globale se è definita su tutto $\mathbb R$. I teoremi di esistenza globale che hai citato van bene e sono quelli usati la maggior parte delle volte; non è possibile dire a priori, nelle sole ipotesi che hai dato, che la soluzione è globale.