Gli ordini di infiniti sono infiniti?

[gygabyte017]

Domandina che mi è venuta in mente:

Sappiamo che, date due funzioni $f,g:RR->RR$, $lim_(x->oo)f(x)=oo$, $lim_(x->oo)g(x)=oo$ "La funzione $f$ è un infinito di ordine superiore a $g$ se $lim_(x->oo) (f(x))/(g(x))=oo$".

Si può dire che esiste un infinito di ordine "massimo", ovvero una $H$ tale che non esiste nessuna $g$ tale che $lim_(x->oo) (g(x))/(H(x))=oo$?
Ad intuito direi di no. Però ho pensato:

Consideriamo la seguente funzione:

$h:NNxxRR->RR$
$h(n,x)=x^(h(n-1,x))" "if n>1$
$h(n,x)=1" " "altrimenti"$

e sia

$H:RR->RR$
$H(x)=lim_(n->oo)h(n,x)$

Prendiamo come "candidata" la funzione $H$. Esiste una $g$ t.c $lim_(x->oo) (g(x))/(H(x))=oo$?

[Injo]

Non so se ho capito bene la domanda ma una funzione del genere non credo possa esistere. Infatti se è $H$ la funzione tale che $lim_{x\to\infty} \frac{H(x)}{g(x)}=\infty$ per ogni funzione $g$, beh, prendendo $g=H^2$ si ha $lim_{x\to\infty} \frac{H(x)}{H^2(x)}=lim_{x\to\infty} \frac{H(x)}{H(x)*H(x)}=lim_{x\to\infty} \frac{1}{H(x)}=0 != \infty$.

[gugo82]

Se $h(0,x)=1$ allora $h(1,x)=x$, $h(2,x)=x^x$, $h(3,x)=x^(x^x)$ etc...
Il problema è che $H(x)=lim_n h(n,x)$ non è "ben definita" nel senso dell'Analisi di base, nel senso che si ha:

$H(x)=+oo ", se " x>1$

(infatti si prova per induzione che $x^(h(n,x))1$, una successione non limitata superiormente).

Quindi la $H$ non è una di quelle funzioni "buone" per calcolarci un limite.

Ad ogni modo, vale l'osservazione già fatta da Injo: infatti se $g(x)$ è un infinito, $g^2(x)$ è un infinito d'ordine maggiore... E se proprio vuoi abbondare, $e^(|g(x)|)$ è un infinito d'ordine ancora più grande.

[gygabyte017]

Mmm già, è vero, penso proprio abbiate ragione, grazie

Lo stesso dicasi per gli infinitesimi vero? Quindi la "gradazione" degli infiniti/infinitesimi è infinita. E tale infinità ha la potenza del continuo?

[Fioravante Patrone1]

"gygabyte017":E tale infinità ha la potenza del continuo?

Che tale infinità abbia almeno la potenza del continuo è ovvio. E se ci pensi un attimo lo vedi.

[Sk_Anonymous]

numeri superreali

[dissonance]

"gygabyte017":Lo stesso dicasi per gli infinitesimi vero?

Direi di no: prendi una funzione $f$ nulla in un intorno di $x_0$ e risulta che $f=o(g)$ per ogni $g$! Naturalmente è una banalità, e infatti alcuni autori richiedono, per poter parlare di infinitesimo, che la funzione sia non nulla in un intorno del punto.