Gli o piccoli e la risoluzione dei limiti
Ciao ragazzi,
allora faccio un piccola premessa per far vedere cosa ho capito:
INIZIO PREMESSA
Ho due funzioni infinitesime f(x) e g(x) dello stesso ordine e so che il loro rapporto è uguale ad 1
$ lim_(x->0) f(x)/g(x) =1 $
Si può anche dire che f(x) è asintotico a g(x) ovvero che queste due funzioni si comportano "quasi" in maniera uguale per i valori tendenti a zero. Es più classico lim per x-> 0 di sen(x)/x =1 e quindi sen(x)è asintotica x e guardando il grafico delle due funzioni sovrapposte vedo che la retta x è "quasi" uguale al curva del seno che passa per lo zero.
Poi credo di aver capito un'altra cosa, avendo sempre f(x) asintotico a g(x) ho:
$ lim_(x->0) f(x)/g(x) -1=0 $
lo zero che mi viene fuori in realtà non è lo zero "assoluto" ma è quasi zero...in quanto abbiamo un limite, la funzione $ f(x)/g(x)-1 $ si avvicina sempre di più allo zero ma non arriverà mai veramente, quindi questa funzione è un infinitesimo. E come ho capito quel zero è stato chiamato o piccolo. quindi correggendo:
$ lim_(x->0) f(x)/g(x) -1= $ o piccolo ----------------------> $ lim_(x->0) f(x)/g(x)= 1 $+o piccolo
e se moltiplico g(x) sia a destra che a sinistra, ho:
$ lim_(x->0) f(x)=g(x) + o(g(x)) $
a questo punto suppongo che ormai il limite si può anche non scriverlo in quanto ho una vera uguaglianza:
per x-->0 si ha $ f(x)=g(x) + o(g(x)) $ dove g(x) è la "parte principale" e o(g(x)) è il "resto"(errore infinitesimo)
si può esprimere questa equazione semplicemente f(x) ∼ g(x) che vuol dire che f(x) è asintotica a g(x) cioè g(x) approssima sempre meglio f(x) per x-> 0 (in quanto errore diventa sempre più piccolo)
FINE PREMESSA
PROBLEMA VERO E PROPRIO
Posso risolvere i LIMITI utilizzando gli asintotici e lo posso fare solo quando il limite presenta le operazioni di prodotto.
Nel caso delle SOMME E DIFFERENZE "bisogna stare attenti usando gli o piccoli" sostituendo a generica f(x) con g(x) + o(g(x))
tenendo presente che il conto non sempre può essere fatto. SCUSATE MA QUESTO IO NON RIESCO A CAPIRE. Forse dopo la premessa dovrebbe essere una cosa ovvia però, non ci arrivo e spero, che qualcuno di voi potrebbe essere cosi gentile da farmi entrare in testa sto concetto.
Potreste usare i seguenti esempi:
$ lim_(x->0) (ln(1+3x)-3sin(x))/x $ sostituendo ottengo $ lim_(x->0) (o(x))/x =0 $
$ lim_(x->0) (ln(1+3x)-3sin(x))/x^2 $ sostituendo ottengo $ lim_(x->0) (o(x))/x^2 $ qui io so che NON SI PUO' PROSEGUIRE ma non capisco perchè
Se avete avuto pazienza di leggere fin qua vi sarete chiesti... "ma arrivato fin qui cos'è che non capisce " (a meno che la mia premessa non sia sbagliata) però credetemi vedendo questi due risultati comincio ad avere un vuoto sulla essenza degli gli o piccoli. Non avrò capito una mazza su gli asintotici e gli infinitesimi. Vi prego di darmi una mano a capire...Vi ringrazio e mi scuso per il mio italiano precario.
allora faccio un piccola premessa per far vedere cosa ho capito:
INIZIO PREMESSA
Ho due funzioni infinitesime f(x) e g(x) dello stesso ordine e so che il loro rapporto è uguale ad 1
$ lim_(x->0) f(x)/g(x) =1 $
Si può anche dire che f(x) è asintotico a g(x) ovvero che queste due funzioni si comportano "quasi" in maniera uguale per i valori tendenti a zero. Es più classico lim per x-> 0 di sen(x)/x =1 e quindi sen(x)è asintotica x e guardando il grafico delle due funzioni sovrapposte vedo che la retta x è "quasi" uguale al curva del seno che passa per lo zero.
Poi credo di aver capito un'altra cosa, avendo sempre f(x) asintotico a g(x) ho:
$ lim_(x->0) f(x)/g(x) -1=0 $
lo zero che mi viene fuori in realtà non è lo zero "assoluto" ma è quasi zero...in quanto abbiamo un limite, la funzione $ f(x)/g(x)-1 $ si avvicina sempre di più allo zero ma non arriverà mai veramente, quindi questa funzione è un infinitesimo. E come ho capito quel zero è stato chiamato o piccolo. quindi correggendo:
$ lim_(x->0) f(x)/g(x) -1= $ o piccolo ----------------------> $ lim_(x->0) f(x)/g(x)= 1 $+o piccolo
e se moltiplico g(x) sia a destra che a sinistra, ho:
$ lim_(x->0) f(x)=g(x) + o(g(x)) $
a questo punto suppongo che ormai il limite si può anche non scriverlo in quanto ho una vera uguaglianza:
per x-->0 si ha $ f(x)=g(x) + o(g(x)) $ dove g(x) è la "parte principale" e o(g(x)) è il "resto"(errore infinitesimo)
si può esprimere questa equazione semplicemente f(x) ∼ g(x) che vuol dire che f(x) è asintotica a g(x) cioè g(x) approssima sempre meglio f(x) per x-> 0 (in quanto errore diventa sempre più piccolo)
FINE PREMESSA
PROBLEMA VERO E PROPRIO
Posso risolvere i LIMITI utilizzando gli asintotici e lo posso fare solo quando il limite presenta le operazioni di prodotto.
Nel caso delle SOMME E DIFFERENZE "bisogna stare attenti usando gli o piccoli" sostituendo a generica f(x) con g(x) + o(g(x))
tenendo presente che il conto non sempre può essere fatto. SCUSATE MA QUESTO IO NON RIESCO A CAPIRE. Forse dopo la premessa dovrebbe essere una cosa ovvia però, non ci arrivo e spero, che qualcuno di voi potrebbe essere cosi gentile da farmi entrare in testa sto concetto.
Potreste usare i seguenti esempi:
$ lim_(x->0) (ln(1+3x)-3sin(x))/x $ sostituendo ottengo $ lim_(x->0) (o(x))/x =0 $
$ lim_(x->0) (ln(1+3x)-3sin(x))/x^2 $ sostituendo ottengo $ lim_(x->0) (o(x))/x^2 $ qui io so che NON SI PUO' PROSEGUIRE ma non capisco perchè
Se avete avuto pazienza di leggere fin qua vi sarete chiesti... "ma arrivato fin qui cos'è che non capisce " (a meno che la mia premessa non sia sbagliata) però credetemi vedendo questi due risultati comincio ad avere un vuoto sulla essenza degli gli o piccoli. Non avrò capito una mazza su gli asintotici e gli infinitesimi. Vi prego di darmi una mano a capire...Vi ringrazio e mi scuso per il mio italiano precario.
Risposte
confesso di non aver letto tutto,ma se f(x) e g(x) sono infinitesime(o infinite) per x che tende a qualcosa,il limite del loro rapporto è un l diverso da zero non necessariamente uguale ad 1
Scusate, do subito per ipotesi che f(x) è asintotico a g(x) !! e quindi il loro rapporto è necessariamente 1.
Il problema è che \(\text{o}(x)\) è un simbolo in cui si può, in linea di principio, "nascondere" qualsiasi cosa, a patto che essa vada a zero più rapidamente di \(x\) quando \(x\to 0\).
Ad esempio, le tre funzioni:
\[
f_1(x) = x\ \sqrt[3]{x},\ f_2(x) = x^2,\ f_3(x) = x^3
\]
sono tutte e tre degli \(\text{o}(x)\), come puoi facilmente verificare (poiché risulta \(\lim_{x\to 0} \frac{f_n(x)}{x} =0\) per \(n=1,2,3\)).
D'altra parte, però, hai:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0} \frac{f_1(x)}{x^2} &= \lim_{x\to 0} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = +\infty\\
\lim_{x\to 0} \frac{f_2(x)}{x^2} &= \lim_{x\to 0} 1 = 1\\
\lim_{x\to 0} \frac{f_3(x)}{x^2} &= \lim_{x\to 0} x = 0\; ;
\end{split}
\]
quindi non è possibile trarre alcuna alcuna informazione comune sul comportamento al limite dei rapporti \(\frac{f_1(x)}{x^2}\), \(\frac{f_2(x)}{x^2}\) ed \(\frac{f_3(x)}{x^2}\) nonostante \(f_1\), \(f_2\) ed \(f_3\) siano tutte e tre degli \(\text{o}(x)\).
Detta in altri termini, l'esempio che ti ho proposto fa capire che, poiché nel simbolo \(\text{o}(x)\) può "esserci nascosto di tutto" (almeno in linea di principio), non si può dire nulla in generale sul comportamento al limite di un rapporto del tipo \( \frac{\text{o}(x)}{x^2}\).
Questa, però, è una regola del tutto generale: insomma, se \(0<\alpha<\beta\) non puoi dire nulla sul comportamento al limite per \(x\to 0\) del rapporto:
\[
\frac{\text{o}(x^\alpha)}{x^\beta}
\]
(mentre, se \(\alpha \geq \beta>0\), allora sei ben sicuro che il rapporto è infinitesimo quando \(x\to 0\)).
Ad esempio, le tre funzioni:
\[
f_1(x) = x\ \sqrt[3]{x},\ f_2(x) = x^2,\ f_3(x) = x^3
\]
sono tutte e tre degli \(\text{o}(x)\), come puoi facilmente verificare (poiché risulta \(\lim_{x\to 0} \frac{f_n(x)}{x} =0\) per \(n=1,2,3\)).
D'altra parte, però, hai:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0} \frac{f_1(x)}{x^2} &= \lim_{x\to 0} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = +\infty\\
\lim_{x\to 0} \frac{f_2(x)}{x^2} &= \lim_{x\to 0} 1 = 1\\
\lim_{x\to 0} \frac{f_3(x)}{x^2} &= \lim_{x\to 0} x = 0\; ;
\end{split}
\]
quindi non è possibile trarre alcuna alcuna informazione comune sul comportamento al limite dei rapporti \(\frac{f_1(x)}{x^2}\), \(\frac{f_2(x)}{x^2}\) ed \(\frac{f_3(x)}{x^2}\) nonostante \(f_1\), \(f_2\) ed \(f_3\) siano tutte e tre degli \(\text{o}(x)\).
Detta in altri termini, l'esempio che ti ho proposto fa capire che, poiché nel simbolo \(\text{o}(x)\) può "esserci nascosto di tutto" (almeno in linea di principio), non si può dire nulla in generale sul comportamento al limite di un rapporto del tipo \( \frac{\text{o}(x)}{x^2}\).
Questa, però, è una regola del tutto generale: insomma, se \(0<\alpha<\beta\) non puoi dire nulla sul comportamento al limite per \(x\to 0\) del rapporto:
\[
\frac{\text{o}(x^\alpha)}{x^\beta}
\]
(mentre, se \(\alpha \geq \beta>0\), allora sei ben sicuro che il rapporto è infinitesimo quando \(x\to 0\)).
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