Giusto perchè vanno di moda gli o piccolo
Fisso un pò di notazione:
nel seguito scrivo $g(x)=o(f(x))$ per indicare che $\lim_{x->\infty}(g(x))/(f(x))=0$ e denoto con $a(f(x))$ una qualunque funzione $h(x)$ asintotica ad $f(x)$, nel senso che $\lim_{x->\infty}(f(x))/(h(x))=1$. Bene, dire se è vero il seguente fatto:
$f(x)=o(\sum_{k=1}^{\infty}a_k(f(x)))$
dove, chiaramente, $a_k(f(x))$ è una successione di funzioni asintotiche ad $f(x)$
nel seguito scrivo $g(x)=o(f(x))$ per indicare che $\lim_{x->\infty}(g(x))/(f(x))=0$ e denoto con $a(f(x))$ una qualunque funzione $h(x)$ asintotica ad $f(x)$, nel senso che $\lim_{x->\infty}(f(x))/(h(x))=1$. Bene, dire se è vero il seguente fatto:
$f(x)=o(\sum_{k=1}^{\infty}a_k(f(x)))$
dove, chiaramente, $a_k(f(x))$ è una successione di funzioni asintotiche ad $f(x)$
Risposte
è ovvio se le $a_k(f)$ sono tutte definitivamente nonnegative. Ciò basta anche a dimostrare che il limite in "tutti d'accordo" vale 0.
Faccio il caso generico, che non è vero, almeno così pare.... per quell'altro non ho provato...
1 - se trovo delle $a_k(f(x))=g_k(x)*f(x)$ t.c.
$\lim_{x->\infty}(g_k(x))=1$ (per avere l'asintoticità... per ogni $k$ cmq)
$\sum_{k=1}^{\infty}$ $ ( (a_k(f(x)) )/f(x) )=$ $\sum_{k=1}^{\infty}$ $(g_k(x)))=0$
per ogni x naturale ho finito. Infatti il limite della sommatoria per x che tende ad $\infty$ dovrebbe essere $\infty$, se la tesi fosse vera (OSS:ho portato dentro la sommatoria la $f(x)$ che è lecito perchè x è fissato) .
2- per trovare le $g_k(x)$ le definisco sui naturali per induzione, usando una qualsiasi funzione ausiliaria continua $m(x)$ t.c.:
$m(0)=-1$ e $\lim_{x->\infty}(m(x))=1$
ed $m(x)$ strettamente crescente.
definisco $u(x)=z$ t.c. $m(z)=x$ (l'inversa in pratica!
)
----$x=1$
$g_1(1)=m(a)$ con $m(a)$ un qualsiasi numero positivo appartenente all'immagine di $m$ e quindi $0
$g_n(1)=0$ per $n>2$
memorizzo $a_11=a$, $a_12=u(-a)$... ovvero per ogni punto che è immagine di $m$ ricordo di quale punto è immagine (il primo pedice ricorda che è $x=1$, il secondo identifica la funzione).
----$x=n+1$
per induzione si può assumere che esista un $T_0$ t.c. per ogni $t>T_0$, $g_t(n)=0$. Ora:
$g_i(n+1)=m(a_(ni)+1)$ per $i=1...T_0$(per crescenza della $m$ questi $g_i$ tenderanno ad 1)
$g_(i+T_0)(n+1)=m(u( -g_i(n+1) ) )$ per $i=1...T_0$ (notare che questo valore può essere negativo o positivo, ma sarà sempre compreso tra -1 e 1).
$g_i(n+1)=0$ per $ i>2T_0$
Ora vale:
1- le $g_k$ tendono ad 1 sui naturali, infatti tutte sono nulle fino ad un certo punto, poi assumono un valore non controllato e cominciano a crescere verso 1;
2- per ogni $x$ naturale, la somma di tutte le $g_k$ calcolate su x vale 0;
che era quello che serviva per definire le funzioni, una volta calcolate sui naturali le si estendono (magari con segmenti) e funzioni reali lasciando invariato il limite all'infinito....
mmm... ho fatto qualche errore???
1 - se trovo delle $a_k(f(x))=g_k(x)*f(x)$ t.c.
$\lim_{x->\infty}(g_k(x))=1$ (per avere l'asintoticità... per ogni $k$ cmq)
$\sum_{k=1}^{\infty}$ $ ( (a_k(f(x)) )/f(x) )=$ $\sum_{k=1}^{\infty}$ $(g_k(x)))=0$
per ogni x naturale ho finito. Infatti il limite della sommatoria per x che tende ad $\infty$ dovrebbe essere $\infty$, se la tesi fosse vera (OSS:ho portato dentro la sommatoria la $f(x)$ che è lecito perchè x è fissato) .
2- per trovare le $g_k(x)$ le definisco sui naturali per induzione, usando una qualsiasi funzione ausiliaria continua $m(x)$ t.c.:
$m(0)=-1$ e $\lim_{x->\infty}(m(x))=1$
ed $m(x)$ strettamente crescente.
definisco $u(x)=z$ t.c. $m(z)=x$ (l'inversa in pratica!
) ----$x=1$
$g_1(1)=m(a)$ con $m(a)$ un qualsiasi numero positivo appartenente all'immagine di $m$ e quindi $0
$g_n(1)=0$ per $n>2$
memorizzo $a_11=a$, $a_12=u(-a)$... ovvero per ogni punto che è immagine di $m$ ricordo di quale punto è immagine (il primo pedice ricorda che è $x=1$, il secondo identifica la funzione).
----$x=n+1$
per induzione si può assumere che esista un $T_0$ t.c. per ogni $t>T_0$, $g_t(n)=0$. Ora:
$g_i(n+1)=m(a_(ni)+1)$ per $i=1...T_0$(per crescenza della $m$ questi $g_i$ tenderanno ad 1)
$g_(i+T_0)(n+1)=m(u( -g_i(n+1) ) )$ per $i=1...T_0$ (notare che questo valore può essere negativo o positivo, ma sarà sempre compreso tra -1 e 1).
$g_i(n+1)=0$ per $ i>2T_0$
Ora vale:
1- le $g_k$ tendono ad 1 sui naturali, infatti tutte sono nulle fino ad un certo punto, poi assumono un valore non controllato e cominciano a crescere verso 1;
2- per ogni $x$ naturale, la somma di tutte le $g_k$ calcolate su x vale 0;
che era quello che serviva per definire le funzioni, una volta calcolate sui naturali le si estendono (magari con segmenti) e funzioni reali lasciando invariato il limite all'infinito....
mmm... ho fatto qualche errore???
non so se hai fatto errori... non l'ho vista nei dettagli... comunque credo anch'io che sia falsa in generale... poi con calma vedo la tua dim
ciao
ciao
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