Giustificazione della misura di Lebesgue
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Chiariamo:
Dati questi insiemi:
$1$ Sia $Q=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times [a_3,b_3]\times ...\times [a_n,b_n]$ un n-intervallo di $R^n$ con $Q \subset R^n$.
$2$ Sia definito come plurintervallo $R=\bigcup_{i=1}^{N}Q_i$.
$3$ Sia un aperto $A\subset R^n$, non può essere proprio dato che essendo $Q$ chiuso essi differiscono almeno per la frontiera.
$4$ Sia un chiuso $C\subseteq R^n$.
$5$ Sia $E\subseteq R^n$ un generico insieme.
Le misure sono definite da:
m$1$ $|Q|\: =(b_1-a_1)(b_2-a_2)...(b_n-a_n)$
m$2$ $|R|\: =\bigcup_{i=1}^{N}|Q_i|$
m$3$ $|A|\: =$sup$ \{|R|\: R\subset A\}$, con il simbolo di sottoinsieme proprio dato dallo stesso motico precedente.
m$4$ $|C|\: = $inf$\{|R|\: R\supseteq C\}$
m$5$ $|E|\:=|E|^{e}=|E|_{i}$ dove:
m$6$ $|E|_{e}\: =$inf$\{|A|\: A\supseteq E\}$
m$7$ $|E|^{i}\: =$sup$\{|C|\: C\subseteq E\}$
Ora, non capisco alcune cose:
-La misura uno e la misura due sono molto intuitive. Non sono intuitive le misure tre, quattro e cinque. A differenza delle prime queste infatti mi appaiono parecchio arbitrarie. Ora, qualcuno è in grado di giustificarle senza che io debba ricorrere a testi specializzati? Nel senso che:
_3 Perché i plurintervalli sono contenuti in $A$ e non il contrario?
_4 Perché i plurintervalli contengono $C$ e non il contrario?
_6 Perché nella misura esterna gli aperti contengono $E$?
_7 Perché nella misura interna i chiusi sono contenuti in $E$?
-Perchè la misura di un insieme chiuso può essere nulla mentre la misura di un insieme aperto non piò non essere nulla?
Risposte
Up.
Buongiorno.
Se ti interessi di Teoria della Misura, ti suggerisco - nel caso in cui non l'avessi già fatto - di dare una lettura approfondita a questo (o altri file affini che trovi sulla web page del prof. Acquistapace).
Lì sopra troverai le risposte alle domande che poni. Comunque:
Ok, come dici tu questo è abbastanza intuitivo: in pratica, abbiamo attribuito una misura prima ai classici rettangoli e poi ai plurirettangoli (unioni finite di rettangoli). Ora vorremmo "misurare" insiemi molto più generali di questi, cominciando a misurare insiemi che sono ben approssimabili da famiglie di plurirettangoli.
La 3) e la 4) si muovono in questa direzione: definiscono una misura per aperti e chiusi. [Oss. In realtà, facendo sempre riferimento alle dispense sopra, si definisce la misura per aperti e compatti, ma va be', finchè stiamo in $RR^N$ sul limitato, chiuso e compatto sono equivalenti].
Ti chiedi il perché delle inclusioni.
Questo secondo me dovrebbe convincerti riguardo i punti 3)-4). Adesso viene l'ultimo passo: considerare insiemi qualsiasi (io mi restringerei ai limitati; secondo me, gli insiemi illimitati meritano un discorso a parte).
Ecco quindi che appare sensato definire, dato $E\subseteq R^n$ limitato, la misura esterna $|E|_{e}\: ="inf"{|A|\: A " aperto", A\supseteq E\}$ e la misura interna $|E|^{i}\: ="sup"{|C|: C " compatto", C\subseteq E\}$.
Tra l'altro, alla luce di queste definizioni, si può dimostrare che per ogni sottoinsieme (limitato) vale $|cdot|^i \le |cdot|^e$ (la dimostrazione di questo fatto non è banale). Sarà invece ovvio, a questo punto, dire quando un sottoinsieme di $RR^n$ è Lebesgue-misurabile: $E$ limitato è misurabile se e solo se misura interna e misura esterna coincidono.
[Io non so voi, ma qui sento tremendamente puzza di limite, anzi di massimo e minimo limite...]
Ecco, questo è un bell'esercizio (proposto anche nelle dispense di cui sopra). Ogni aperto non vuoto ha misura strettamente positiva. Immagino che il motivo sia, informalmente, quello già scritto sopra: sicuramente esiste un plurirettangolo incluso nell'aperto.
Tuttaiva, per una formalizzazione precisa ci devo ancora pensare. Spero di non averti confuso.
Se ti interessi di Teoria della Misura, ti suggerisco - nel caso in cui non l'avessi già fatto - di dare una lettura approfondita a questo (o altri file affini che trovi sulla web page del prof. Acquistapace).
Lì sopra troverai le risposte alle domande che poni. Comunque:
"5mrkv":
Dati questi insiemi:
$1$ Sia $Q=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times [a_3,b_3]\times ...\times [a_n,b_n]$ un n-intervallo di $R^n$ con $Q \subset R^n$.
$2$ Sia definito come plurintervallo $R=\bigcup_{i=1}^{N}Q_i$.
[...]
m$1$ $|Q|\: =(b_1-a_1)(b_2-a_2)...(b_n-a_n)$
m$2$ $|R|\: =\bigcup_{i=1}^{N}|Q_i|$
Ok, come dici tu questo è abbastanza intuitivo: in pratica, abbiamo attribuito una misura prima ai classici rettangoli e poi ai plurirettangoli (unioni finite di rettangoli). Ora vorremmo "misurare" insiemi molto più generali di questi, cominciando a misurare insiemi che sono ben approssimabili da famiglie di plurirettangoli.
La 3) e la 4) si muovono in questa direzione: definiscono una misura per aperti e chiusi. [Oss. In realtà, facendo sempre riferimento alle dispense sopra, si definisce la misura per aperti e compatti, ma va be', finchè stiamo in $RR^N$ sul limitato, chiuso e compatto sono equivalenti].
Ti chiedi il perché delle inclusioni.
"Il prof. Acquistapace":
E' chiaro che ogni aperto non vuoto di $RR^N$ contiene qualche plurirettangolo: ha quindi senso approssimare l'aperto dall'interno con plurirettangoli. Similmente, poiche ogni compatto è incluso in qualche rettangolo, ha senso approssimare un compatto dall'esterno con plurirettangoli.
Questo secondo me dovrebbe convincerti riguardo i punti 3)-4). Adesso viene l'ultimo passo: considerare insiemi qualsiasi (io mi restringerei ai limitati; secondo me, gli insiemi illimitati meritano un discorso a parte).
"Il prof. Acquistapace":
Successivamente estenderemo la misura ad una vasta classe di insiemi limitati, vale a dire quelli che sono ben approssimabili dall'esterno con aperti e dall'interno con compatti: queste proprieta si esprimeranno con le nozioni di misura esterna e di misura interna.
Ecco quindi che appare sensato definire, dato $E\subseteq R^n$ limitato, la misura esterna $|E|_{e}\: ="inf"{|A|\: A " aperto", A\supseteq E\}$ e la misura interna $|E|^{i}\: ="sup"{|C|: C " compatto", C\subseteq E\}$.
Tra l'altro, alla luce di queste definizioni, si può dimostrare che per ogni sottoinsieme (limitato) vale $|cdot|^i \le |cdot|^e$ (la dimostrazione di questo fatto non è banale). Sarà invece ovvio, a questo punto, dire quando un sottoinsieme di $RR^n$ è Lebesgue-misurabile: $E$ limitato è misurabile se e solo se misura interna e misura esterna coincidono.
[Io non so voi, ma qui sento tremendamente puzza di limite, anzi di massimo e minimo limite...]
"5mrkv":
Perchè la misura di un insieme chiuso può essere nulla mentre la misura di un insieme aperto non piò non essere nulla?
Ecco, questo è un bell'esercizio (proposto anche nelle dispense di cui sopra). Ogni aperto non vuoto ha misura strettamente positiva. Immagino che il motivo sia, informalmente, quello già scritto sopra: sicuramente esiste un plurirettangolo incluso nell'aperto.
Tuttaiva, per una formalizzazione precisa ci devo ancora pensare. Spero di non averti confuso.
Grazie.
Prego, figurati.
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