Giustificare la differenziabilità di una funzione

[Schultz1]

Salve, vari esercizi chiedono come giustificare la differenziabilità di una funzione, ma come si fa?
Per esempio, come si fa in questo caso?
$f:xy(x^2+y^2-1)$

[ciampax]

Usando la definizione?

[Schultz1]

Beh si, l'importante è che risponda alla richiesta

[ciampax]

Mi hai frainteso. Era una domanda retorica. intendevo dire che per verificarlo, devi usare la definizione di defferenziabilità.

[Schultz1]

Ah, quindi devo semplicemente risolvere il limite? Però il limite vale per un determinato punto, a me che serve per un'intera funzione come faccio?

Oppure basta che dimostro che esistono le derivate parziali?

[ciampax]

Calcoli (non "risolvi", non è una equazione) il limite della definizione di differenziabilità per un punto generico $(x_0,y_0)$ e fai vedere che viene sempre fuori zero.

[Schultz1]

Ok grazie, ma il professore non ha spiegato come svolgere il limite a due variabili. Quindi come proseguo? Nei suoi esami chiede questo quesito senza aver spiegato i limiti a due variabili, quindi un modo alternativo ci sarà

[ralf86]

Si dimostra che se tutte le derivate parziali della funzione sono continue in un punto, allora la funzione è differenziale in quel punto. Questo teorema (quando le ipotesi sono vere) spesso aiuta a dimostrare la differenziabilita di una funzione in un punto. Permette ad esempio nel tuo esempio di affermare a vista che la funzione è differenziale on tutti i punti del piano (x, y) Nel caso generale (cioè quando le ipotesi del teorema non sono vere) occorre applicare la definizione come affermato da Ciampax.