(già svolto,solo da controllare)Stabilire se una forma differenziale è esatta e calcolarle l'integrale curvilineo
Testo:
Stabilire se la forma differenziale
$ omega = (sinx + 3y^2) dx + (2x-e^(-y)) dy $
è esatta nel suo campo di esistenza. Calcolare poi l'integrale curvilineo di $ omega $ esteso alla frontiera del triangolo di vertici : $ (0,0) , (1,1) , (2,0) $ percorsa in verso antiorario.
Mio Svolgimento :
• Affinché $ omega $ sia esatta dev'essere chiusa in un aperto semplicemente connesso
il dominio di $ omega $ è tutto $ R^2 $ che è un aperto semplicemente connesso ma $ omega $ non è chiusa , infatti se lo fosse dovrebbe essere
$ a_y = b_x $
Ma
$ 6y != 2 $
Quindi concludo dicendo che $ omega $ non è esatta.
•Per quanto concerne il secondo punto suppongo si debba determinare una rappresentazione parametrica della frontiera proposta :
$ gamma_1 = {(x(t)=t),(y(t)=t) :} t in [0,1] $
$ gamma_2 = {(x(t)=t),(y(t)=0) :} t in [0,2] $
$ gamma_3 = {(x(t)=t),(y(t)=-t+2) :} t in [1,2] $
Ora mi hanno spiegato che per vedere l'orientamento della frontiera di una curva si utilizza il "metodo delle t crescenti"
cioè preso $ t_1 < t_2 in [a,b] $ => il verso è quello che va da $ gamma(t_1) $ a $ gamma(t_2) $ , se è così $ gamma_1 $ è orientata in senso orario e dunque nel calcolo dell'integrale curvilineo devo mettere il segno " -" ; $ gamma_2 $ è già in senso antiorario ; $ gamma_3 $ è orientata in senso orario allora devo mettere il segno " -".
$ int_(gamma)omega ds = - int_(gamma_1)omega ds+ int_(gamma_2)omega ds- int_(gamma_3)omegads = - int_0^1( sint + 3t^2 +2t - e^(-t))dt + int_0^2(sintdt) - int_1^2(sint+3(t^2+4-4t)+(2t-e^(t-2))(-1)dt) = -2-1/e+cos(1)+ 2 sin^2(1) 1/e+2 cos^2(1)-cos(1) = (1 - e^(-1))cos(2) - 1 $
E' per caso tutto corretto? Grazie mille anticipatamente
Stabilire se la forma differenziale
$ omega = (sinx + 3y^2) dx + (2x-e^(-y)) dy $
è esatta nel suo campo di esistenza. Calcolare poi l'integrale curvilineo di $ omega $ esteso alla frontiera del triangolo di vertici : $ (0,0) , (1,1) , (2,0) $ percorsa in verso antiorario.
Mio Svolgimento :
• Affinché $ omega $ sia esatta dev'essere chiusa in un aperto semplicemente connesso
il dominio di $ omega $ è tutto $ R^2 $ che è un aperto semplicemente connesso ma $ omega $ non è chiusa , infatti se lo fosse dovrebbe essere
$ a_y = b_x $
Ma
$ 6y != 2 $
Quindi concludo dicendo che $ omega $ non è esatta.
•Per quanto concerne il secondo punto suppongo si debba determinare una rappresentazione parametrica della frontiera proposta :
$ gamma_1 = {(x(t)=t),(y(t)=t) :} t in [0,1] $
$ gamma_2 = {(x(t)=t),(y(t)=0) :} t in [0,2] $
$ gamma_3 = {(x(t)=t),(y(t)=-t+2) :} t in [1,2] $
Ora mi hanno spiegato che per vedere l'orientamento della frontiera di una curva si utilizza il "metodo delle t crescenti"
cioè preso $ t_1 < t_2 in [a,b] $ => il verso è quello che va da $ gamma(t_1) $ a $ gamma(t_2) $ , se è così $ gamma_1 $ è orientata in senso orario e dunque nel calcolo dell'integrale curvilineo devo mettere il segno " -" ; $ gamma_2 $ è già in senso antiorario ; $ gamma_3 $ è orientata in senso orario allora devo mettere il segno " -".
$ int_(gamma)omega ds = - int_(gamma_1)omega ds+ int_(gamma_2)omega ds- int_(gamma_3)omegads = - int_0^1( sint + 3t^2 +2t - e^(-t))dt + int_0^2(sintdt) - int_1^2(sint+3(t^2+4-4t)+(2t-e^(t-2))(-1)dt) = -2-1/e+cos(1)+ 2 sin^2(1) 1/e+2 cos^2(1)-cos(1) = (1 - e^(-1))cos(2) - 1 $
E' per caso tutto corretto? Grazie mille anticipatamente
Risposte
Penso proprio che sia sbagliato. Puoi riscrivere la tua forma differenziale così:
\[
\omega = 3y^2\, dx + 2x\, dy + \eta,\]
dove \(\eta= \sin(x)\, dx - e^{-y}\,dy=d\left( -\cos(x)+e^{-y}\right)\) è una forma differenziale esatta e quindi non porta contributo all'integrale, che è esteso a un cammino chiuso. A questo punto nel risultato non mi aspetto certo di trovare esponenziali e coseni.
\[
\omega = 3y^2\, dx + 2x\, dy + \eta,\]
dove \(\eta= \sin(x)\, dx - e^{-y}\,dy=d\left( -\cos(x)+e^{-y}\right)\) è una forma differenziale esatta e quindi non porta contributo all'integrale, che è esteso a un cammino chiuso. A questo punto nel risultato non mi aspetto certo di trovare esponenziali e coseni.
"dissonance":
Penso proprio che sia sbagliato. Puoi riscrivere la tua forma differenziale così:
\[
\omega = 3y^2\, dx + 2x\, dy + \eta,\]
dove \(\eta= \sin(x)\, dx - e^{-y}\,dy=d\left( -\cos(x)+e^{-y}\right)\) è una forma differenziale esatta e quindi non porta contributo all'integrale, che è esteso a un cammino chiuso. A questo punto nel risultato non mi aspetto certo di trovare esponenziali e coseni.
Ah ok grazie ... forse ho selezionato un esercizio troppo complesso ... in genere in tutti gli esercizi visti a lezione bastava semplicemente verificare che la forma differenziale fosse chiusa e definita in un aperto semplicemente connesso .
Quindi la forma differenziale era esatta ed in quanto tale per il teorema di caratterizzazione delle forme differenziali esatte era nullo l'integrale curvilineo calcolato su quel percorso chiuso => $ int_(gamma) omega * ds = 0 $.
Ho un'altra perplessità però , ammettiamo che questa forma differenziale non sia esatta , la restante parte dell'esercizio e dunque tutto il discorso sul verso era corretto?
Grazie in Anticipo
Non ho mai detto che $\omega$ è esatta. Infatti non lo è. Dico invece che l'esercizio è molto più facile se uno ragiona un momento e toglie dall'integrale tutti i termini che non contribuiscono.
Non hai selezionato un esercizio "troppo complesso", al contrario. Ragiona un momento e non fare le cose a macchinetta.
Non hai selezionato un esercizio "troppo complesso", al contrario. Ragiona un momento e non fare le cose a macchinetta.
"dissonance":
Non ho mai detto che $\omega$ è esatta. Infatti non lo è. Dico invece che l'esercizio è molto più facile se uno ragiona un momento e toglie dall'integrale tutti i termini che non contribuiscono.
Non hai selezionato un esercizio "troppo complesso", al contrario. Ragiona un momento e non fare le cose a macchinetta.
E' la prima volta che vedo uno svolgimento di questo tipo , non ci avrei mai pensato da solo
, quindi solo $ eta $ è una forma differenziale esatta $ => $ non mi dà contributo nel calcolo dell'integrale curvilineo su un percorso chiuso per il teorema di caratterizzazione delle forme differenziali esatte... giusto? Per cui stabilito ciò, la seconda parte dell'esercizio dovrebbe essere così :
$ int_(gamma)omega ds = - int_(gamma_1)omega ds+ int_(gamma_2)omega ds- int_(gamma_3)omegads = - int_0^1( 3t^2 +2t)dt + int_0^2(2t)dt - int_1^2(+3(t^2+4-4t)+(2t)(-1))dt = 4 $
Esatto! Visto come diventa più semplice? Sul risultato veramente io ho trovato 2, ma ho fatto i conti velocemente ("ad alta entropia", cioè con alta probabilità di errore).
Invece ho un dubbio sulle tue parametrizzazioni. Sospetto che anche lì tu stia facendo a macchinetta. Fai un disegno invece di pensare al "metodo delle $t$ crescenti" o cose del genere. Prima parametrizza il bordo inferiore del triangolo, è facile (potresti anche risparmiartelo: non porta contributo all'integrale, perché sia \(y\) sia \(dy\) si annullano). Poi parametrizza il lato destro e infine quello sinistro.
A questo servono gli esercizi. Pure io non ci avrei mai pensato finché non mi è capitato di usare questo trucco, forse me lo ha suggerito qualcuno, e da allora me lo ricordo.
Invece ho un dubbio sulle tue parametrizzazioni. Sospetto che anche lì tu stia facendo a macchinetta. Fai un disegno invece di pensare al "metodo delle $t$ crescenti" o cose del genere. Prima parametrizza il bordo inferiore del triangolo, è facile (potresti anche risparmiartelo: non porta contributo all'integrale, perché sia \(y\) sia \(dy\) si annullano). Poi parametrizza il lato destro e infine quello sinistro.
non ci avrei mai pensato
A questo servono gli esercizi. Pure io non ci avrei mai pensato finché non mi è capitato di usare questo trucco, forse me lo ha suggerito qualcuno, e da allora me lo ricordo.
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