Gerarchie di convergenze
E' vero che la convergenza $L^(oo)$ implica la convergenza puntuale q.o., che a sua volta implica la convergenza $L^p$ (con $p>=1$ finito)?
Con "convergenza" parlo di convergenza dell'intera successione, dunque senza dover passare a estratte.
Con "convergenza" parlo di convergenza dell'intera successione, dunque senza dover passare a estratte.
Risposte
La convergenza q.o. non implica di certo la convergenza $L^p$.
Invece la convergenza $L^\infty$ implica la convergenza q.o. (Se per norma $L^\infty$ intendi che $||f||<=K$ se $f(x)<=K$ per q.o x)
Invece la convergenza $L^\infty$ implica la convergenza q.o. (Se per norma $L^\infty$ intendi che $||f||<=K$ se $f(x)<=K$ per q.o x)
Se lo spazio di misura è limitato (ad esempio un misurabile di [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex] con misura di Labesgue finita), la convergenza [tex]$L^p$[/tex] di una successione convergente in [tex]$L^\infty$[/tex] si ricava con una banalissima maggiorazione, senza passare attraverso la convergenza (puntuale) q.o..
Noto che, in generale, tra convergenza in media (ossia in qualche [tex]$L^p$[/tex], per [tex]$p<+\infty$[/tex]) e convergenza q.o. non c'è alcun rapporto di parentela, nel senso che nessuna delle due implica l'altra.
Esempi semplici:
- [tex]$f_n(x):=\begin{cases} n &\text{, se $x\in [0,\frac{1}{n}]$}\\ 0 &\text{, se $x\in ]\frac{1}{n} ,1]$}\end{cases}$[/tex]
converge q.o. a [tex]$f(x)=0$[/tex], ma non converge in [tex]$L^p$[/tex] per nessun [tex]$p$[/tex].
- D'altra parte se [tex]$(g_n)$[/tex] è una successione di funzioni semplici convergente a [tex]$g(x)=0$[/tex] in misura in [tex]$[0,1]$[/tex], non convergente puntualmente in nessun punto di [tex]$[0,1]$[/tex] e con [tex]$g_n([0,1]) \in \{ 0,1\}$[/tex] (esempi di tal fatta si fabbricano facilmente; ce n'è uno abbastanza standard di cui ho parlato tempo fa), allora hai convergenza in ogni [tex]$L^p$[/tex] ma non convergenza q.o..
Noto che, in generale, tra convergenza in media (ossia in qualche [tex]$L^p$[/tex], per [tex]$p<+\infty$[/tex]) e convergenza q.o. non c'è alcun rapporto di parentela, nel senso che nessuna delle due implica l'altra.
Esempi semplici:
- [tex]$f_n(x):=\begin{cases} n &\text{, se $x\in [0,\frac{1}{n}]$}\\ 0 &\text{, se $x\in ]\frac{1}{n} ,1]$}\end{cases}$[/tex]
converge q.o. a [tex]$f(x)=0$[/tex], ma non converge in [tex]$L^p$[/tex] per nessun [tex]$p$[/tex].
- D'altra parte se [tex]$(g_n)$[/tex] è una successione di funzioni semplici convergente a [tex]$g(x)=0$[/tex] in misura in [tex]$[0,1]$[/tex], non convergente puntualmente in nessun punto di [tex]$[0,1]$[/tex] e con [tex]$g_n([0,1]) \in \{ 0,1\}$[/tex] (esempi di tal fatta si fabbricano facilmente; ce n'è uno abbastanza standard di cui ho parlato tempo fa), allora hai convergenza in ogni [tex]$L^p$[/tex] ma non convergenza q.o..
Perfetto, grazie del chiarimento. Avevo evidentemente le idee confuse

Così, per aggiungere carne al fuoco.
La convergenza $L^p$ implica la convergenza q.o. passando a sottosuccessioni (se converge in $L^p$ una successione, c'è una sottosuccessione che converge q.o.) per $p
Per $L^(oo)$: la convergenza in $L^(oo)$ implica convergenza q.o..
La convergenza $L^p$ implica la convergenza q.o. passando a sottosuccessioni (se converge in $L^p$ una successione, c'è una sottosuccessione che converge q.o.) per $p