Gerarchia infiniti

[affo90]

Salve a tutti! ho passato l'esame di analisi 1, ma facendo ripetizioni a un mio amico mi è venuto un dubbio allucinante! magari la risposta sarà ovvia e la domanda stupida, ma veramente non ci dormo la notte!
Allora il fatto è che il mio libro di analisi dice esplicitamente che per x che tende ad infinito e^x è un infinito di ordine superiore a qualsiasi potenza, infatti si ha che:

$ lim_(x -> oo) (x)^(a)/b^{x} =0, AA a, b in RR $

Tuttavia se proviamo a disegnare i grafici di x^10(blu), x^x(verde), e^x(rosso) si ha:




La mia domanda è quindi (finalmente...): si vede chiaramente che x^10 sarà sempre maggiore di e^x! allora perchè e^x è un infinito di ordine sup a qualsiasi potenza?!

Spero che la domanda sia chiara! grazie per l'attenzione!

[dissonance]

"affo90":La mia domanda è quindi (finalmente...): si vede chiaramente che x^10 sarà sempre maggiore di e^x!

Eh la Peppa! Non ti fare fuorviare dalla scala del grafico. Hai tratto questa conclusione perché sei ancora troppo vicino allo zero. Prova a fare disegnare il grafico in un intervallo più ampio, magari dell'ordine delle centinaia, e vedi che succede.

[affo90]

"dissonance":Eh la Peppa! Non ti fare fuorviare dalla scala del grafico. Hai tratto questa conclusione perché sei ancora troppo vicino allo zero. Prova a fare disegnare il grafico in un intervallo più ampio, magari dell'ordine delle centinaia, e vedi che succede.

Adesso ho provato i valori di y fino a 100 e vedendo la tabella dei valori e^x ha valori molto più grandi di x^10 già per x>70!!!
Per esempio per x=70:
x^10= 2824752490000000000,000
e^x= 2515438670916223495957867659264,000

ma quindi questo vuol dire che x^10 ha una pendenza minore di e^x e quindi ad un certo punto si incontrano e e^x lo supera? dal grafico sembra impossibile!!!

[The_Mad_Hatter]

beh, $+oo$ ovviamente non è 10, 100, 1000, 1000000, ma appunto... infinito!

Comunque volevo apportare una piccola correzione:
$lim_(x -> oo) (x)^(a)/b^{x} =0, AA a, b in RR$ con $b>1$

[gugo82]

La [tex]$x$[/tex] deve variare fino a [tex]$100$[/tex], non la [tex]$y$[/tex]...

Anzi, non c'è bisogno nemmeno di arrivare a [tex]$100$[/tex]; basta fermarsi a [tex]$36$[/tex].
Infatti [tex]$e^{35}-35^{10}\approx -1\times 10^{15}$[/tex] mentre [tex]$e^{36}-36^{10}\approx 6.5\times 10^{14}$[/tex].

Ad ogni modo, ti consiglio di desistere: i numeri in gioco diventano troppo grandi se non hai un buon software di calcolo sotto mano.

[affo90]

"The_Mad_Hatter":beh, $+oo$ ovviamente non è 10, 100, 1000, 1000000, ma appunto... infinito!

Comunque volevo apportare una piccola correzione:
$lim_(x -> oo) (x)^(a)/b^{x} =0, AA a, b in RR$ con $b>1$

si infatti io avevo sempre pensato all'infinito come a infinito e non a un numero... però vedere i grafici mi ha creato confusione!
per quanto riguarda $ b>1 $ hai perfettamente ragione!!

per quanto riguarda:

"gugo82":La $x$ deve variare fino a $100$, non la $y$...

ho zoomato la y fino a 100 solo per fare vedere che sembra impossibile che $e^x$ possa raggiungere $x^10$, infatti sembra quasi che $x^10$ abbia un "asintoto verticale"... Comunque grazie mille a tutti! Ho guardato e in effetti i due grafici si incontrano tra 35 e 36!

2758547353515625,000 x=35
1586013452312502,750

3656158440062976,000 x=36
4311231547112600,500

(il primo è $x^10$ il secondo è $e^x$) Grazie ancora!