Gerarchia degli infiniti

[Ermete22]

Ciao a tutti ragazzi e buon week end
Mi sono ritrovato un esercizio molto particolare sulla gerarchia degli infiniti e vorrei delucidazioni

con $ x->0 $

$ |ln(x)|/(1/x) $

Ora, sappiamo che sia il numeratore che il denominatore tendono a infinito.
Il libro afferma poi che ogni esponenziale tende ad infinito più velocemente di ln(x)
Ma la gerarchia degli infiniti non considera solo le x che tendono ad infinito?
Perchè in questo caso noi siamo in un intorno di zero ...

Grazie mille in anticipo

[AnalisiZero]

"Ermete22":Ciao a tutti ragazzi e buon week end
Mi sono ritrovato un esercizio molto particolare sulla gerarchia degli infiniti e vorrei delucidazioni

con $ x->0 $

$ |ln(x)|/(1/x) $

Ora, sappiamo che sia il numeratore che il denominatore tendono a infinito.
Il libro afferma poi che ogni esponenziale tende ad infinito più velocemente di ln(x)
Ma la gerarchia degli infiniti non considera solo le x che tendono ad infinito?
Perchè in questo caso noi siamo in un intorno di zero ...

Grazie mille in anticipo

Stai facendo un po' di confusione, $x$ va a $0$, ma numeratore e denominatore vanno, come hai detto, a infinito. La gerarchia degli infiniti confronta funzioni che vanno a infinito. In questo caso le tue funzioni sono $|lnx|$ e $1/x$ (che è una potenza , non un esponenziale, occhio). Quindi hai confuso la $x$ con la $y$. Tu metti la $x$ nella funzione, cioè metti $0$, poi vedi tra le due funzioni (che si dicono funzioni infinite per $x to 0$) chi arriva prima a infinito.

[francicko]

Se metti nella forma $x=e^logx $ e poni $|logx|=t $ per $x->0^+$ ovviamente $t->+infty $ quindi avrai $x=1/e^t $ ed $t/ e^t $, ambedue sono infiniti per $t->+infty $ ma l'esponenziale a denominatore e un infinito di ordine superiore