Geometria proiettiva
Ciao a tutti,
ho un problema di geometria proiettiva da risolvere, è possibile che sia di una facilità estrema ma non riesco a trovare la soluzione di nessuno dei 3 punti di cui consta. Ringrazio chiunque vorrà aiutarmi. Il testo è il seguente:
"Nel piano proiettivo reale con coordinate proiettive omogenee
[u : x : y] e retta impropria di equazione u = 0, siano A = [1 : 1 : 0], B = [1 : 0 : 1],
C = [0 : 1 : 1], D = [1 : 0 : 0], E = [0 : 1 : 0] e F = [0 : 0 : 1].
(a) Si scrivano le equazioni (omogenee, parametriche o no) delle rette per AF,
CD e BE. (se volete rispondermi, basta una sola, non perdete tempo a farne 3, mi basta vedere il procedimento)
(b) Si scrivano le rette AB, BC e CD nelle coordinate affini (x, y) della carta
affine u diverso da 0.
(c) Si scriva l’equazione di una conica non degenere e di una degenere che passa
per i quattro punti A, B, E e F."
Se volete aiutarmi vi ringrazio molto.
Ale
ho un problema di geometria proiettiva da risolvere, è possibile che sia di una facilità estrema ma non riesco a trovare la soluzione di nessuno dei 3 punti di cui consta. Ringrazio chiunque vorrà aiutarmi. Il testo è il seguente:
"Nel piano proiettivo reale con coordinate proiettive omogenee
[u : x : y] e retta impropria di equazione u = 0, siano A = [1 : 1 : 0], B = [1 : 0 : 1],
C = [0 : 1 : 1], D = [1 : 0 : 0], E = [0 : 1 : 0] e F = [0 : 0 : 1].
(a) Si scrivano le equazioni (omogenee, parametriche o no) delle rette per AF,
CD e BE. (se volete rispondermi, basta una sola, non perdete tempo a farne 3, mi basta vedere il procedimento)
(b) Si scrivano le rette AB, BC e CD nelle coordinate affini (x, y) della carta
affine u diverso da 0.
(c) Si scriva l’equazione di una conica non degenere e di una degenere che passa
per i quattro punti A, B, E e F."
Se volete aiutarmi vi ringrazio molto.
Ale
Risposte
A=[1,1,0]
F=[0,0,1]
La retta AF è determinata dai punti A ed F, cioè è la retta A+F, e questo già basterebbe.
Se poi vuoi trovarne l'equazione puoi, al solito, annullare il determinante della matrice che ha come prima colonna il punto generico [u,x,y], come seconda colonna il punto A, e come terza colonna il punto F. Tale condizione non dipende da eventuali costanti moltiplicative non nulle perché il determinante è multilineare. Trovi l'equazione $u=x$.
C=[0,1,1]
D=[1,0,0]
Il procedimento per trovare la retta C+D è lo stesso di prima, e troverai $x=y$.
B=[1,0,1]
E=[0,1,0]
E qui naturalmente troverai $u=y$.
Nel piano affine ottenuto togliendo la retta u=0, otterrai nelle coordinate affini X=x/u, Y=y/u, le equazioni
retta A+F: X=1.
retta C+D: X=Y.
retta B+E: Y=1.
Una conica degenere che passa per A, B, E, F è quella che si spezza nelle due rette A+F, B+E, e quindi la conica di equazione $(x-u)(x-y)=0$.
Per trovarne una non degenere che passi per A, B, E, F puoi costruire nel piano affine una iperbole equilatera del tipo XY=1, traslarla in modo che passi per A e per B, quindi omogeneizzare per passare al piano proiettivo (il passaggio per E e per F è assicurato dalla direzione degli asintoti!). Trovi la conica
$xy-\gamma ux-\gamma uy+\gamma u^2=0$
dove $\gamma^2=\gamma+1$ (per esempio puoi prendere $\gamma=(1+\sqrt{5})/2$).
Mi accorgo adesso che la scelta di $\gamma$ è indipendente dal risultato quando la conica è scritta in questa forma (in cui ho già sostituito $\gamma^2-1$ con $\gamma$). Quindi immagino tu possa prendere anche $\gamma=1$.
Ciao.
F=[0,0,1]
La retta AF è determinata dai punti A ed F, cioè è la retta A+F, e questo già basterebbe.
Se poi vuoi trovarne l'equazione puoi, al solito, annullare il determinante della matrice che ha come prima colonna il punto generico [u,x,y], come seconda colonna il punto A, e come terza colonna il punto F. Tale condizione non dipende da eventuali costanti moltiplicative non nulle perché il determinante è multilineare. Trovi l'equazione $u=x$.
C=[0,1,1]
D=[1,0,0]
Il procedimento per trovare la retta C+D è lo stesso di prima, e troverai $x=y$.
B=[1,0,1]
E=[0,1,0]
E qui naturalmente troverai $u=y$.
Nel piano affine ottenuto togliendo la retta u=0, otterrai nelle coordinate affini X=x/u, Y=y/u, le equazioni
retta A+F: X=1.
retta C+D: X=Y.
retta B+E: Y=1.
Una conica degenere che passa per A, B, E, F è quella che si spezza nelle due rette A+F, B+E, e quindi la conica di equazione $(x-u)(x-y)=0$.
Per trovarne una non degenere che passi per A, B, E, F puoi costruire nel piano affine una iperbole equilatera del tipo XY=1, traslarla in modo che passi per A e per B, quindi omogeneizzare per passare al piano proiettivo (il passaggio per E e per F è assicurato dalla direzione degli asintoti!). Trovi la conica
$xy-\gamma ux-\gamma uy+\gamma u^2=0$
dove $\gamma^2=\gamma+1$ (per esempio puoi prendere $\gamma=(1+\sqrt{5})/2$).
Mi accorgo adesso che la scelta di $\gamma$ è indipendente dal risultato quando la conica è scritta in questa forma (in cui ho già sostituito $\gamma^2-1$ con $\gamma$). Quindi immagino tu possa prendere anche $\gamma=1$.
Ciao.
Per quanto riguarda la parte delle coniche, puoi procedere in un modo più implicito ma anche più chiaro, che è il seguente: scrivi l'equazione generale di una conica nel piano proiettivo con coordinate omogenee $x_0,x_1,x_2$ (le tue u,x,y), ovvero
$a_{00}x_0^2+a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+2a_{01}x_0x_1+2a_{02}x_0x_2+2a_{12}x_1x_2=0$
Quindi per determinare i particolari coefficienti imponi il passaggio per A, B, E, F ottenendo le equazioni:
$a_{00}+a_{11}+2a_{01}=0$
$a_{00}+a_{22}+2a_{02}=0$
$a_{22}=0$
$a_{11}=0$
Da cui trovi il fascio delle coniche passanti per A, B, E, F, che è, usando i parametri $k=a_{01}$, $l=a_{12}$, quello determinato dall'equazione
$-2kx_0^2+2kx_0x_1+2kx_0x_2+2lx_1x_2=0$
che equivale, dividendo per 2, a
$-kx_0^2+kx_0x_1+kx_0x_2+lx_1x_2=0$
Se scrivi la matrice della forma bilineare associata ti accorgi che la conica è degenere se e solo se uno tra k e l è uguale a zero (il determinante è proporzionale a $k^2l$). Quindi per trovarne una degenere per esempio imponi k=0, l=1 (non entrambi nulli per definizione di conica). Per trovarne una non degenere per esempio imponi 1=k=l. In particolare, quando la conica non è degenere, rispetto all'iperpiano $x_0 \ne 0$ è forzatamente un'iperbole. Ciò si poteva dedurre dal passaggio per E e per F, che sono punti all'infinito, quindi direzioni (il passaggio di una conica per due direzioni distinte si traduce nella presenza di due asintoti).
Ciao.
$a_{00}x_0^2+a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+2a_{01}x_0x_1+2a_{02}x_0x_2+2a_{12}x_1x_2=0$
Quindi per determinare i particolari coefficienti imponi il passaggio per A, B, E, F ottenendo le equazioni:
$a_{00}+a_{11}+2a_{01}=0$
$a_{00}+a_{22}+2a_{02}=0$
$a_{22}=0$
$a_{11}=0$
Da cui trovi il fascio delle coniche passanti per A, B, E, F, che è, usando i parametri $k=a_{01}$, $l=a_{12}$, quello determinato dall'equazione
$-2kx_0^2+2kx_0x_1+2kx_0x_2+2lx_1x_2=0$
che equivale, dividendo per 2, a
$-kx_0^2+kx_0x_1+kx_0x_2+lx_1x_2=0$
Se scrivi la matrice della forma bilineare associata ti accorgi che la conica è degenere se e solo se uno tra k e l è uguale a zero (il determinante è proporzionale a $k^2l$). Quindi per trovarne una degenere per esempio imponi k=0, l=1 (non entrambi nulli per definizione di conica). Per trovarne una non degenere per esempio imponi 1=k=l. In particolare, quando la conica non è degenere, rispetto all'iperpiano $x_0 \ne 0$ è forzatamente un'iperbole. Ciò si poteva dedurre dal passaggio per E e per F, che sono punti all'infinito, quindi direzioni (il passaggio di una conica per due direzioni distinte si traduce nella presenza di due asintoti).
Ciao.
Grazie mille, sei stato molto chiaro. Unica cosa che mi sfugge è cosa significa la tua affermazione che "la retta per A e F è A+F ". Intendi dire che è il proiettivizzato del piano span(A,F), dove sto vedendo A e F come rette del piano affine? perchè se è così avevo avuto anche io questa idea, ma poi passare dall'equazione del piano all'equazione del proiettivizzato del piano mi ha mandato profondamente nel pallone.
Ciao!
Con A+F intendo la retta del piano proiettivo che corrisponde allo spazio vettoriale generato da due qualsiasi rappresentanti dei punti A e F, quindi non sto propriamente vedendo A e F come rette del piano affine, ma come spazi vettoriali di dimensione 1.
Con A+F intendo la retta del piano proiettivo che corrisponde allo spazio vettoriale generato da due qualsiasi rappresentanti dei punti A e F, quindi non sto propriamente vedendo A e F come rette del piano affine, ma come spazi vettoriali di dimensione 1.
Ah, capito, grazie mille! La geometria proiettiva è affascinante, ma ci è stata spiegata a lezione veramente in modo indegno, pertanto sto cercando di farmi una cultura mia sull'argomento, ma non è esattamente facile... e poi infatti si cade sugli esercizi che si risolvono con 2 passaggi di algebra lineare.
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