Generalizzazioni per altre dimensioni su integrali curvilinei
Ciao, amici! Il mio testo di analisi dimostra le seguenti equivalenze, valide per un $A$ aperto e connesso (il che equivale a connesso per poligonali, che sono curve regolari a tratti, come tutte le curve oggetto dei seguenti teoremi):
Inoltre il testo afferma che, data una curva $\gamma$ a supporto contenuto in $\mathbb{R}^3$, gli integrali curvilinei di prima specie \(\int_a^b f(\boldsymbol{r}(t))\|\boldsymbol{r}'(t)\|\text{d}t\) e di seconda specie \(\int_{\gamma}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{T}\text{d}s=\int_a^b \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}(t))\cdot\boldsymbol{r}'(t)\text{d}t\) sono indipendenti dalla parametrizzazione (regolare a tratti, direi si intenda) assunta.
Ora, nelle dimostrazioni che espone di questi fatti il mio libro mi sembra che l'esponente di \(\mathbb{R}^3\) sia irrilevante. Direi quindi che si tratti di fatti validi indipendente dalla dimensione dello spazio reale in cui si trova la curva.
Sono giuste la mie impressioni? Chiedo solo per conferma...
$\infty$ grazie a tutti!!!
Ora, tutti
"V. barutello, M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi matematica":1k7fvpeg:
Sia \(\boldsymbol{F}:A\subset\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) un campo vettoriale di classe $C^1$. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
1) \(\boldsymbol F\) è conservativo (cioè ammette una funzione potenziale [che è una funzione $U$ a valori reali di classe \(C^2(A)\) tale che \(\nabla U=\boldsymbol F\)]);
2) Date due curve $\gamma_1$ e $\gamma_2$ contenute in $A$ e aventi gli stessi estremi (nell'ordine) si ha \(\int_{\gamma_1}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{T}\text{d}s=\int_{\gamma_2}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{T}\text{d}s\);
3) data una qualunque curva chiusa $\gamma\subset A$ la sua circuitazione è nulla: \(\oint_{\gamma}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{T}\text{d}s=0\)
Inoltre il testo afferma che, data una curva $\gamma$ a supporto contenuto in $\mathbb{R}^3$, gli integrali curvilinei di prima specie \(\int_a^b f(\boldsymbol{r}(t))\|\boldsymbol{r}'(t)\|\text{d}t\) e di seconda specie \(\int_{\gamma}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{T}\text{d}s=\int_a^b \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}(t))\cdot\boldsymbol{r}'(t)\text{d}t\) sono indipendenti dalla parametrizzazione (regolare a tratti, direi si intenda) assunta.
Ora, nelle dimostrazioni che espone di questi fatti il mio libro mi sembra che l'esponente di \(\mathbb{R}^3\) sia irrilevante. Direi quindi che si tratti di fatti validi indipendente dalla dimensione dello spazio reale in cui si trova la curva.
Sono giuste la mie impressioni? Chiedo solo per conferma...
$\infty$ grazie a tutti!!!
Ora, tutti
Risposte
Certo, esiste una ovvia generalizzazione a questo tipo di concetti sia quando consideri curve in $RR^n$ qualsiasi che curve su una varietà $n$-dimensionale. In sostanza quelle condizioni che hai scritto valgono per $RR^n$ e vanno solo reinterpretate in termini di operatori sullo spazio tangente quando si parla di varietà.
Grazie di cuore per la pronta e gentilissima risposta!
Figurati Davide. Ti consiglierei un libro che trovo molto comodo perché tratta questi argomenti (i concetti di "curve" e "superfici") in più variabili in una maniera molto interessante, visto che il libro, principalmente, analizza i concetti di tensori/forme differenziali e in seguito collega il tutto, in forma molto pratica, a tutta una serie di altri concetti (dalle funzioni in più variabili, al calcolo integrale, alla fisica, ecc...)... solo che non mi ricordo titolo e autori. Provo a guardare e ti faccio sapere.
Contenuto ghiotto... Grazie!
"ciampax":Sarà mica questo?
Figurati Davide. Ti consiglierei un libro che trovo molto comodo perché tratta questi argomenti (i concetti di "curve" e "superfici") in più variabili in una maniera molto interessante, visto che il libro, principalmente, analizza i concetti di tensori/forme differenziali e in seguito collega il tutto, in forma molto pratica, a tutta una serie di altri concetti (dalle funzioni in più variabili, al calcolo integrale, alla fisica, ecc...)... solo che non mi ricordo titolo e autori. Provo a guardare e ti faccio sapere.
viewtopic.php?p=833649#p833649
"dissonance":Sarà mica questo?
[quote="ciampax"]Figurati Davide. Ti consiglierei un libro che trovo molto comodo perché tratta questi argomenti (i concetti di "curve" e "superfici") in più variabili in una maniera molto interessante, visto che il libro, principalmente, analizza i concetti di tensori/forme differenziali e in seguito collega il tutto, in forma molto pratica, a tutta una serie di altri concetti (dalle funzioni in più variabili, al calcolo integrale, alla fisica, ecc...)... solo che non mi ricordo titolo e autori. Provo a guardare e ti faccio sapere.
viewtopic.php?p=833649#p833649[/quote]
Ecco, lo sapevo che a qualcuno ne avevo già parlato! Bravo Dissonance, è questo! (eh, la vecchiaia!)
Non te ne avevo consigliato anche uno che aveva come titolo "differential forms...qualcosa"?
Grazie a tutti e due, ragazzi!!!
"ciampax":
titolo "differential forms...qualcosa"?
Buh, forse il Do Carmo? Non lo so
No, ce n'era un altro, ma davvero al momento non mi viene in mente quale fosse....
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