Gaussiana e convoluzione
Ciao a tutti,
in un testo viene fatto un esempio in cui mi viene data una consolazione
$ \phi=int_(R) e^(x-^2)f(x+y) dx $ definita $ phi: S(R,C)rarr S(R,C) $ con S lo spazio delle funzioni schwartziane.
Si vuole dimostrare che $ \phi $ è infettivo ma non suriettivo e si procede usando la trasformata di Fourier $ hat(phi)=hat(f** g) =sqrt(2pi)hatg(k)** hatf(k) $ , dato che g è una gaussiana, anche la sua trasformata sarà una gaussiana, che è maggiore di o per ogni k.
Quindi $ hat(phi)=0 $ se e solo se $ hat(f(k))=0 $ se e solo se $ f(k)=0 $ e quindi ho dimostrato l'iniettività.
Per dimostrare che non è suriettiva, si nota che $ hat(g(k))=sqrt(2)hat(G_(1/(sqrt(2))))=sqrt(2pi)hat(G_(sqrt(2))) $.
Onestamente non ho capito come ha scritto la gaussiana e perché...
Poi continua dicendo che dato che $ hat(phi(f))in S(R,C) $ pongo $ hat(phi(f))=G_(sqrt(2))(k) $ e quindi $ f(k)=C e^(x^2/8) $ che non è schwartziana e quindi ho dimostrato che non è invettiva la convoluzione.
Il ragionamento mi è chiaro, ma non mi è molto chiaro quel passaggio (contrassegnato con la faccina triste per capirci).
Magari è solo un problema di notazione.
Grazie a tutti
in un testo viene fatto un esempio in cui mi viene data una consolazione
$ \phi=int_(R) e^(x-^2)f(x+y) dx $ definita $ phi: S(R,C)rarr S(R,C) $ con S lo spazio delle funzioni schwartziane.
Si vuole dimostrare che $ \phi $ è infettivo ma non suriettivo e si procede usando la trasformata di Fourier $ hat(phi)=hat(f** g) =sqrt(2pi)hatg(k)** hatf(k) $ , dato che g è una gaussiana, anche la sua trasformata sarà una gaussiana, che è maggiore di o per ogni k.
Quindi $ hat(phi)=0 $ se e solo se $ hat(f(k))=0 $ se e solo se $ f(k)=0 $ e quindi ho dimostrato l'iniettività.
Per dimostrare che non è suriettiva, si nota che $ hat(g(k))=sqrt(2)hat(G_(1/(sqrt(2))))=sqrt(2pi)hat(G_(sqrt(2))) $.
Onestamente non ho capito come ha scritto la gaussiana e perché...
Poi continua dicendo che dato che $ hat(phi(f))in S(R,C) $ pongo $ hat(phi(f))=G_(sqrt(2))(k) $ e quindi $ f(k)=C e^(x^2/8) $ che non è schwartziana e quindi ho dimostrato che non è invettiva la convoluzione.
Il ragionamento mi è chiaro, ma non mi è molto chiaro quel passaggio (contrassegnato con la faccina triste per capirci).
Magari è solo un problema di notazione.
Grazie a tutti
Risposte
Ciao vitunurpo,
Innanzitutto immagino intendessi scrivere convoluzione...
Poi altrettanto probabilmente intendevi scrivere:
$ \phi = \int_{\RR} e^(- x^2)f(x+y) \text{d}x $
Ora, ufficialmente la funzione gaussiana è la seguente:
$g(x; \mu, \sigma) = 1/(\sigma \sqrt{2\pi}) e^{- (x - \mu)^2/(2\sigma^2)} $
Quindi per ottenere qualcosa di proporzionale a $e^{- x^2} $ occorre assumere $\mu = 0 $ e $\sigma = 1/sqrt2 $, sicché si ha:
$g(x; 0, 1/sqrt2) = 1/(\sqrt{\pi}) e^{- x^2} $
Inoltre si ha:
\begin{equation*}
\boxed{{\cal F}\big[e^{- ax^2}\big] := {\frac{1}{\sqrt{2\pi}}} \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ax^2 - i2\pi\,\nu x}dx = {\frac{1}{\sqrt{2a}}}\:e^{- \frac{{\pi}^2{\nu}^2}{a}}}
\end{equation*}
In particolare se $a = \pi $, la funzione $e^{-\pi x^2}$ si trasforma, mediante la trasformata di Fourier, in sè stessa a meno della costante moltiplicativa. Nel caso proposto poi compare $k$ al posto di $2\pi \nu $, ma non è difficile capire come cambia la trasformata così facendo (basta moltiplicare per $4$ numeratore e denominatore della frazione dell'esponenziale).
Attenzione che la trasformata di Fourier non è univocamente definita (può essere diversa la costante che compare prima dell'integrale), quindi controlla la definizione adottata dal testo che stai utilizzando.
"vitunurpo":
in un testo viene fatto un esempio in cui mi viene data una consolazione
$ \phi = \int_(R) e^(x-^2)f(x+y) dx $
Innanzitutto immagino intendessi scrivere convoluzione...
Poi altrettanto probabilmente intendevi scrivere:
$ \phi = \int_{\RR} e^(- x^2)f(x+y) \text{d}x $
Ora, ufficialmente la funzione gaussiana è la seguente:
$g(x; \mu, \sigma) = 1/(\sigma \sqrt{2\pi}) e^{- (x - \mu)^2/(2\sigma^2)} $
Quindi per ottenere qualcosa di proporzionale a $e^{- x^2} $ occorre assumere $\mu = 0 $ e $\sigma = 1/sqrt2 $, sicché si ha:
$g(x; 0, 1/sqrt2) = 1/(\sqrt{\pi}) e^{- x^2} $
Inoltre si ha:
\begin{equation*}
\boxed{{\cal F}\big[e^{- ax^2}\big] := {\frac{1}{\sqrt{2\pi}}} \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ax^2 - i2\pi\,\nu x}dx = {\frac{1}{\sqrt{2a}}}\:e^{- \frac{{\pi}^2{\nu}^2}{a}}}
\end{equation*}
In particolare se $a = \pi $, la funzione $e^{-\pi x^2}$ si trasforma, mediante la trasformata di Fourier, in sè stessa a meno della costante moltiplicativa. Nel caso proposto poi compare $k$ al posto di $2\pi \nu $, ma non è difficile capire come cambia la trasformata così facendo (basta moltiplicare per $4$ numeratore e denominatore della frazione dell'esponenziale).
Attenzione che la trasformata di Fourier non è univocamente definita (può essere diversa la costante che compare prima dell'integrale), quindi controlla la definizione adottata dal testo che stai utilizzando.
Oddio lasciamo stare, è tutto il giorno che litigo con il correttore automatico e questa mi è sfuggita (convoluzione è stata corretta in consolazione e convulsione in totale nella giornata di oggi ahaha). E poi sì, ho sbagliato a mettere il segno 
Comunque ti ringrazio
Hai anche scritto "infettivo" invece di "ingettivo" 
Beh, ma quello perché inconsciamente stava pensando al COVID-19...
ODDIO sto correttore è folle, mi sono sfuggiti tutti... Sì beh poi abito anche in Lombardia quindi il coronavirus è di casa
Abbiate pazienza per gli errori di battitura, mi scuso se dovessero essercene degli altri.
Abbiate pazienza per gli errori di battitura, mi scuso se dovessero essercene degli altri.
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