Gauss jordan- riduzione a scala
Ciao!!!
Sto cercando di capire il metodo di Gauss-Jordan ma non mi tornano alcune cose...La domanda più importante: "le operazioni che faccio nell matrice a cosa servono?Alla fine nella matrice che devo trovarmi?"...Ho letto varie dispense e fatto alcune ricerche (il mio libro non è chiaro) ma ho bisognodi una spiegazione semplice e diretta!...Spero possiate aiutarmi!
Vi scrivo una matrice utile per eventuali esempi:
[math]1 1 3 [math/]
[math]2 -1 4[math/]
Devo assolutamente capire la riduzione a scala altrimenti non posso procedere con il calcolo del determinante, del rango, con completamento ed estrazione .-.....grazie a tutti in anticipo
Sto cercando di capire il metodo di Gauss-Jordan ma non mi tornano alcune cose...La domanda più importante: "le operazioni che faccio nell matrice a cosa servono?Alla fine nella matrice che devo trovarmi?"...Ho letto varie dispense e fatto alcune ricerche (il mio libro non è chiaro) ma ho bisognodi una spiegazione semplice e diretta!...Spero possiate aiutarmi!
Vi scrivo una matrice utile per eventuali esempi:
[math]1 1 3 [math/]
[math]2 -1 4[math/]
Devo assolutamente capire la riduzione a scala altrimenti non posso procedere con il calcolo del determinante, del rango, con completamento ed estrazione .-.....grazie a tutti in anticipo
Risposte
Il metodo di Gauss-Jordan è utile per due scopi e di solito viene usato per matrici rettangolari (per quelle quadrate l'alternativa è usare le proprietà dei determinanti):
1) nel caso tu stia trattando una semplice matrice (non associata ad altri problemi) ti permette di comprendere quale sia il suo rango cercando di ridurre la matrice in forma triangolare fino ad ottenere righe di semplici zeri (eventualmente)
2) nel caso tu stia risolvendo un sistema lineare, permette di determinarne le soluzioni.
Il metodo è abbastanza semplice: esso su base su un algoritmo iterativo che si riapplica costantemente fino ad ottenere la matrice nella forma triangolare.
Indichiamo le righe della matrice con
1) il primo passo consiste nel fissare la riga
a) se
b) se
Così facendo il primo elemento della nuova riga creata sarà uguale a zero e gli altri si modificheranno.
2) si esegue la procedura per tutte le righe, dalla seconda fino all'ultima.
3) una volta terminato, si ricomincia fissando stavolta la riga
In generale, quando sei al passo
La condizione
Vediamo un po' come fare
Fissiamo la riga
e pertanto la matrice si riscrive
1) nel caso tu stia trattando una semplice matrice (non associata ad altri problemi) ti permette di comprendere quale sia il suo rango cercando di ridurre la matrice in forma triangolare fino ad ottenere righe di semplici zeri (eventualmente)
2) nel caso tu stia risolvendo un sistema lineare, permette di determinarne le soluzioni.
Il metodo è abbastanza semplice: esso su base su un algoritmo iterativo che si riapplica costantemente fino ad ottenere la matrice nella forma triangolare.
Indichiamo le righe della matrice con
[math]R_i[/math]
e con [math]a_{ij}[/math]
gli elementi della matrice di posto [math](i,j)[/math]
(riga, colonna) e vediamo come applicarlo:1) il primo passo consiste nel fissare la riga
[math]R_1[/math]
e osservare il valore di [math]a_{11}[/math]
. Se esso è diverso da zero, allora puoi procedere alla riduzione di GJ. Considera la generica riga [math]R_i[/math]
con [math]i\not= 1[/math]
e verifica che valore assume [math]a_{i1}[/math]
.a) se
[math]a_{i1}=0[/math]
non hai bisogno di fare niente;b) se
[math]a_{i1}\not= 0[/math]
allora si procede così: si moltiplica la riga [math]R_1[/math]
per [math]-a_{i1}[/math]
e la riga [math]R_i[/math]
per [math]a_{11}[/math]
, si sommano i valori e si sostituiscono alla riga [math]R_i[/math]
. In simboli[math]R_i\longrightarrow -a_{i1} R_1+a_{11} R_i[/math]
Così facendo il primo elemento della nuova riga creata sarà uguale a zero e gli altri si modificheranno.
2) si esegue la procedura per tutte le righe, dalla seconda fino all'ultima.
3) una volta terminato, si ricomincia fissando stavolta la riga
[math]R_2[/math]
e considerando l'elemento [math]a_{22}[/math]
(dopo il punto 1), l'elemento [math]a_{21}[/math]
è divenuto uguale a zero). Si procede di nuovo con tutte le righe, considerando di volta in volta l'elemento [math]a_{i2}[/math]
e operando come al punto 1).In generale, quando sei al passo
[math]j[/math]
(cioè quando fissi la riga [math]R_j[/math]
) la sostituzione da fare con le varie righe è la seguente[math]R_i\longrightarrow -a_{ij} R_j+a_{jj} R_i,\qquad i>j[/math]
La condizione
[math]i>j[/math]
indica che, se fissi la riga [math]R_j[/math]
dovrai lavorare e modificare solo le righe che stanno sotto di questa e non quelle sopra.Vediamo un po' come fare
[math]A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 3\\ 2 & -1 & 4
\end{array}\right)[/math]
1 & 1 & 3\\ 2 & -1 & 4
\end{array}\right)[/math]
Fissiamo la riga
[math]R_1=(1\ 1\ 3)[/math]
con [math]a_{11}=1[/math]
. Prendiamo la riga [math]R_2=(2\ -1\ 4)[/math]
con [math]a_{21}=2[/math]
e operiamo la sostituzione[math]R_2\longrightarrow -a_{21} R_1+a_{11} R_2=-2(1\ 1\ 3)+(2\ -1\ 4)=(0\ -3\ -2)[/math]
e pertanto la matrice si riscrive
[math]A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 3\\ 0 & -3 & -2
\end{array}\right)[/math]
1 & 1 & 3\\ 0 & -3 & -2
\end{array}\right)[/math]
per tutte le matrici devo effettuare lo stesso procedimento...quindi moltiplicare -a_i1 R_1......?
Sì, te l'ho spiegato, è una cosa iterativa.
Aggiunto più tardi:
Ah, quando scrivi una cosa con formule, prima va "math" (tra parentesi quadre) e alla fine va "/math" sempre fra quadre.
Aggiunto più tardi:
Ah, quando scrivi una cosa con formule, prima va "math" (tra parentesi quadre) e alla fine va "/math" sempre fra quadre.
l ultima R della formula generale dovrebbe essere
se è corretto quello che dico ho capito altrimenti no! :P
Aggiunto 14 minuti più tardi:
ah dimenticavo...il risultato dell' esercizio che hai svolto è diverso dal risultato che ho io ...
il risultato alla fine della riduzione è
Aggiunto 1 minuto più tardi:
Per il resto sei stato chiaro, ho capito il metodo ma non si trova con gli esempi che ho io...ci sono vari metodi?...
[math] R_i [/math]
e non [math] R_j [/math]
se è corretto quello che dico ho capito altrimenti no! :P
Aggiunto 14 minuti più tardi:
ah dimenticavo...il risultato dell' esercizio che hai svolto è diverso dal risultato che ho io ...
il risultato alla fine della riduzione è
[math] 1 0 0 [/math]
e (immagina sia una matrice 2*3) (sotto la 2 rig)[math] 2 1 0 [/math]
...Aggiunto 1 minuto più tardi:
Per il resto sei stato chiaro, ho capito il metodo ma non si trova con gli esempi che ho io...ci sono vari metodi?...
Corretto la formula, effettivamente ci deve essere
Per quanto riguarda il tuo risultato, ho capito il problema: voi usate il metodo di riduzione al "contrario", cioè triangolando a partire dal basso, ma è in sostanza la stessa cosa. Per ottenere la matrice in quella forma dovrai semplicemente applicare quello che ti ho spiegato partendo dall'ultima riga. Prova e fammi sapere.
[math]R_i[/math]
. Per quanto riguarda il tuo risultato, ho capito il problema: voi usate il metodo di riduzione al "contrario", cioè triangolando a partire dal basso, ma è in sostanza la stessa cosa. Per ottenere la matrice in quella forma dovrai semplicemente applicare quello che ti ho spiegato partendo dall'ultima riga. Prova e fammi sapere.
ok...provo...e ti aggiorno...ma il risultato alla fine non dovrebbe essere lo stesso?
Aggiunto 11 minuti più tardi:
ah ridurre a scala e applicare jordan è la stessa cosa?
Aggiunto 46 minuti più tardi:
ho provato anche con altre matrici ma non si trova...il docente lavora sulle colonne non sulle righe...
Aggiunto 11 minuti più tardi:
ah ridurre a scala e applicare jordan è la stessa cosa?
Aggiunto 46 minuti più tardi:
ho provato anche con altre matrici ma non si trova...il docente lavora sulle colonne non sulle righe...
Ti faccio il procedimento per colonne passo passo:
Sostituisco la colonna
Ora la colonna
Infine la colonna
Il fatto che a me resti -3 piuttosto che 1 è ininfluente: al fine di calcolare il rango, hai comunque solo 2 colonne non zero (per cui il rango è 2) e se invece stessi risolvendo un sistema di equazioni, le equazioni che vengono fuori sono
che come puoi vedere danno la stessa soluzione
Sostituisco la colonna
[math]C_2[/math]
con la seguente [math]-a_{12} C_1+a_{11} C_2[/math]
ottenendo[math]\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 3\\ 2 & -3 & 4
\end{array}\right)[/math]
1 & 0 & 3\\ 2 & -3 & 4
\end{array}\right)[/math]
Ora la colonna
[math]C_3[/math]
con la seguente [math]-a_{13} C_1+a_{11} C_3[/math]
ottenendo[math]\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\ 2 & -3 & -2
\end{array}\right)[/math]
1 & 0 & 0\\ 2 & -3 & -2
\end{array}\right)[/math]
Infine la colonna
[math]C_3[/math]
nuovamente con la seguente [math]-a_{23} C_2+a_{22} C_3[/math]
ottenendo[math]\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\ 2 & -3 & 0
\end{array}\right)[/math]
1 & 0 & 0\\ 2 & -3 & 0
\end{array}\right)[/math]
Il fatto che a me resti -3 piuttosto che 1 è ininfluente: al fine di calcolare il rango, hai comunque solo 2 colonne non zero (per cui il rango è 2) e se invece stessi risolvendo un sistema di equazioni, le equazioni che vengono fuori sono
[math]x_1=0,\qquad 2x_1+x_2=0[/math]
(il tuo prof)[math]x_1=0,\qquad 2x_1-3x_2=0[/math]
(il mio caso)che come puoi vedere danno la stessa soluzione
[math]x_1=0,\ x_2=0,\ x_3=\alpha\in\mathbb{R}[/math]
Grazie mille...sei stato chiarissimo...!!!
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