Gauss-Green
Data la 1-forma differenziale $ ω= dx / ((1+y)(1+x)^2 )+ dy/ ((1+x)(1+y)^2) $ e la curva $ γ:[0,√π] ⟶ R^2 $, $ γ(t) = (e^(sen(t^2)) , e^(cos(t^2))) $ , devo scrivere il valore di $ ∫ω $ su $ γ $
Ho pensato di usare Gauss-Green per semplificare i conti, ma passando da un integrale di lunghezza ad uno di superficie ho dei problemi nella definizione della superficie descritta da γ, cioè gli estremi di integrazione
Ho pensato di usare Gauss-Green per semplificare i conti, ma passando da un integrale di lunghezza ad uno di superficie ho dei problemi nella definizione della superficie descritta da γ, cioè gli estremi di integrazione
Risposte
La curva giace nel primo quadrante, regione nella quale la forma differenziale è esatta. Conviene determinarne il potenziale:
$\{((delV)/(delx)=1/((1+x)^2(1+y))),((delV)/(dely)=1/((1+x)(1+y)^2)):} rarr$
$rarr \{(V(x,y)=-1/((1+x)(1+y))+C_1(y)),(1/((1+x)(1+y)^2)+C_1'(y)=1/((1+x)(1+y)^2)):} rarr$
$rarr \{(V(x,y)=-1/((1+x)(1+y))+C_1(y)),(C_1'(y)=0):} rarr$
$rarr \{(V(x,y)=-1/((1+x)(1+y))+C_1(y)),(C_1(y)=C_2):} rarr$
$rarr V(x,y)=-1/((1+x)(1+y))+C_2$
Tra l'altro, essendo la curva aperta, non si comprende perchè scomodare il teorema di Gauss-Green.
$\{((delV)/(delx)=1/((1+x)^2(1+y))),((delV)/(dely)=1/((1+x)(1+y)^2)):} rarr$
$rarr \{(V(x,y)=-1/((1+x)(1+y))+C_1(y)),(1/((1+x)(1+y)^2)+C_1'(y)=1/((1+x)(1+y)^2)):} rarr$
$rarr \{(V(x,y)=-1/((1+x)(1+y))+C_1(y)),(C_1'(y)=0):} rarr$
$rarr \{(V(x,y)=-1/((1+x)(1+y))+C_1(y)),(C_1(y)=C_2):} rarr$
$rarr V(x,y)=-1/((1+x)(1+y))+C_2$
Tra l'altro, essendo la curva aperta, non si comprende perchè scomodare il teorema di Gauss-Green.