F(x,y) estremi relativi.
salve,
ho un problema con lo studio di funzioni a due variabili:
$f(x,y)=xlog(x+y)$
mi si chiede di studiare gli estremi $relativi$ della funzione.
Allora mi trovo le derivate parziali $f_x=log(x+y)+x/(x+y)$ e $f_y=x/(x+y)$.Mi trovo l'unico punto in cui si annullano $P=(0,0)$.studiando l'hessiana avrò che $H=0$ quindi dovrei studiarmi il segno della funzione.Ma come lo studio in due variabili?
Il problema è che in una soluzione che ho, mi si dice che i punti di minimo sono sulla retta $y=0$ per $x>1$.
ho cercato di capire il metodo, in pratica lui calcola i punti graficamente.Infatti sa che per il dominio $x>-y$ la funzione è definita, poi prende(non so in che modo) la retta $x+y=1$ e studia il caso quando $01$.
adesso non ho capito il perchè fa così.
grazie
ho un problema con lo studio di funzioni a due variabili:
$f(x,y)=xlog(x+y)$
mi si chiede di studiare gli estremi $relativi$ della funzione.
Allora mi trovo le derivate parziali $f_x=log(x+y)+x/(x+y)$ e $f_y=x/(x+y)$.Mi trovo l'unico punto in cui si annullano $P=(0,0)$.studiando l'hessiana avrò che $H=0$ quindi dovrei studiarmi il segno della funzione.Ma come lo studio in due variabili?
Il problema è che in una soluzione che ho, mi si dice che i punti di minimo sono sulla retta $y=0$ per $x>1$.
ho cercato di capire il metodo, in pratica lui calcola i punti graficamente.Infatti sa che per il dominio $x>-y$ la funzione è definita, poi prende(non so in che modo) la retta $x+y=1$ e studia il caso quando $0
adesso non ho capito il perchè fa così.
grazie
Risposte
La funzione è $f(x,y)=xlog(x+y)$, devi calcolarti le derivate parziali rispetto alla x e rispetto alla y:
$f_x=log(x+y)+x/(x+y)$
$f_y=x/(x+y)$
Hai che $\nablaf(x,y)=(log(x+y)+x/(x+y),x/(x+y))$, e per trovare gli eventuali punti estremanti della funzione devi studiare i punti di $f(x,y)$ in cui $\nablaf(x,y)=0$. Perciò
$\{(log(x+y)+x/(x+y)=0),(x/(x+y)=0):}$ da cui ottieni $x=0$ e $y=1$. Quindi $\nablaf(x,y)=0\rightarrow (0,1)$
Una volta che hai trovato il punto critico devi studiare la tipologia di punto critico, sfruttando le informazioni della matrice hessiana calcolandoti, innanzitutto, le derivate seconde:
$f_(x x)=(2y+x)/(x+y)^2$
$f_(xy)=y/(x+y)^2$
$f_(yy)=-x/(x+y)^2$
$f_(yx)=(x-y)/(x+y)^3$
Compili la matrice hessiana: [tex]H(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{2y+x}{(x+y)^2} & \frac{y}{(x+y)^2} \\ \frac{-x}{(x+y)^2} & \frac{x-y}{(x+y)^3} \end{pmatrix}[/tex] e la calcoli in $(0,1)\implies H(0,1)$ trovando
[tex]H(0,1)=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\implies |H|=-2<0[/tex]
Per definizione, se il determinante della matrice hessiana calcolata in un punto $P_0$ è negativo, allora quel punto sarà un punto di sella.
$f_x=log(x+y)+x/(x+y)$
$f_y=x/(x+y)$
Hai che $\nablaf(x,y)=(log(x+y)+x/(x+y),x/(x+y))$, e per trovare gli eventuali punti estremanti della funzione devi studiare i punti di $f(x,y)$ in cui $\nablaf(x,y)=0$. Perciò
$\{(log(x+y)+x/(x+y)=0),(x/(x+y)=0):}$ da cui ottieni $x=0$ e $y=1$. Quindi $\nablaf(x,y)=0\rightarrow (0,1)$
Una volta che hai trovato il punto critico devi studiare la tipologia di punto critico, sfruttando le informazioni della matrice hessiana calcolandoti, innanzitutto, le derivate seconde:
$f_(x x)=(2y+x)/(x+y)^2$
$f_(xy)=y/(x+y)^2$
$f_(yy)=-x/(x+y)^2$
$f_(yx)=(x-y)/(x+y)^3$
Compili la matrice hessiana: [tex]H(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{2y+x}{(x+y)^2} & \frac{y}{(x+y)^2} \\ \frac{-x}{(x+y)^2} & \frac{x-y}{(x+y)^3} \end{pmatrix}[/tex] e la calcoli in $(0,1)\implies H(0,1)$ trovando
[tex]H(0,1)=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\implies |H|=-2<0[/tex]
Per definizione, se il determinante della matrice hessiana calcolata in un punto $P_0$ è negativo, allora quel punto sarà un punto di sella.
ok allora avevo sbagliato a trovarmi il punto (0,1).
ma gli altri punti di minimo (x,1) per x>1 come me li trovo??
cioè facendo come te praticamente trovo solo il punto da te indicato e basta.
ma gli altri punti di minimo (x,1) per x>1 come me li trovo??
cioè facendo come te praticamente trovo solo il punto da te indicato e basta.
Tu stai cercando gli estremi RELATIVI della funzione a due variabili, quindi i suoi punti critici, e - come nel caso ad una variabile si trovano discutendo la derivata nei punti in cui $f'(x)=0$ - nel caso a due variabili bisogna cercare i punti in cui $\nablaf(x,y)=0$ e risolvere il sistema derivato che, in questo caso, ha solo una soluzione. Per questo motivo il punto critico della funzione è uno solo.
Se poi ti riferisci agli estremi assoluti è un altro paio di maniche
Se poi ti riferisci agli estremi assoluti è un altro paio di maniche
in effetti forse l'esercizio allora è basato sulla ricerca di quelli assoluti(purtroppo ho solo lo svolgimento dell'esercizio).
nel caso degli assoluti io di solito o uso il lagrangiano quando ho una restrizione.in questo caso come procedo?
nel caso degli assoluti io di solito o uso il lagrangiano quando ho una restrizione.in questo caso come procedo?
Dato che l'insieme di definizione $I$ è dato da $x+y>0\implies y> -x$, quindi tutti i punti al di sopra della retta $y=-x$, l'insieme di definizione è limitato ma non è un compatto. Sai che l'esistenza di massimi e minimi assoluti, per il teorema di Weierstrass, può essere definita all'interno di un insieme chiuso e limitato $[a,b]$. In questo caso hai bisogno almeno di un intervallo per calcolare gli estremi assoluti.
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