$f(x,y)$ con parametro $a>0$..mi blocco/dubbio in un punto..
Ciao a tutti, sto facendo degli esercizi di ripasso, prima del compito, però ho dei problemi con questo esercizio, mi blocco in un punto e non so più andare avanti. Aiutatemi per favore, grazie in anticipo.
Per ogni $a>0$ studiare la continuità, la derivabilità direzionale e la differenziabilità di
\( f(x,y)=\begin{cases} \frac{|y|^\alpha (x-1)}{x^2+y^2} \ ,(x,y)\ne (0,0) \\ 0 \ ,(x,y)=0 \end{cases} \)
cioè è una funzione definita a tratti e per $(x,y)\ne (0,0)$ si ha $ f(x,y)=(|y|^\alpha (x-1))/(x^2+y^2) $
ho provato a risolvere così
provo a vedere se è continua
$ \lim_((x,y)\to(0,0)) (|y|^\alpha (x-1))/(x^2+y^2) =\lim_((x,y)\to (0,0)) (-|y|^\alpha )/(x^2+y^2) =$
$ =\lim_(\rho\to 0) (- \rho^\alpha)/(\rho^2)=\lim_(\rho\to 0) (-1)/(\rho^(2-\alpha))= { ( -1 ),( +\infty ),( 0 ):} $
il limite viene $0$ se se e solo se $\alpha>2$
Quindi per $\alpha>2$ la funzione è continua.
Guardo se la funzione ora è derivabile
allora
$ (partial f)/(partial x) (0,0)=\lim_(x\to 0) (f(x,0)-f(0,0))/(x)=0 $ fa zero poichè la $y=0$
mi blocco con $ (partial f)/(partial y)(0,0)=\lim_(y\to 0) (f(0,y)-f(0,0))/(y) $
poichè
$ \lim_(y\to 0) (f(0,y)-f(0,0))/(y)=\lim_(y\to 0) ((-|y|^\alpha)/(y^2))/(y)=\lim_(y\to 0)(-|y|^\alpha)/(y^3) $
e da qui NON so se è esatto dire che $ sgn(y) y^(\alpha-3 )=0 hArr \alpha>3 $
dunque la derivata parziale esiste in $y$ se se e solo se $\alpha>3$. È esatto? Ho grossi dubbi che sia esatto il procedimento..
Qualche suggerimento o strada alternativa?..
Per ogni $a>0$ studiare la continuità, la derivabilità direzionale e la differenziabilità di
\( f(x,y)=\begin{cases} \frac{|y|^\alpha (x-1)}{x^2+y^2} \ ,(x,y)\ne (0,0) \\ 0 \ ,(x,y)=0 \end{cases} \)
cioè è una funzione definita a tratti e per $(x,y)\ne (0,0)$ si ha $ f(x,y)=(|y|^\alpha (x-1))/(x^2+y^2) $
ho provato a risolvere così
provo a vedere se è continua
$ \lim_((x,y)\to(0,0)) (|y|^\alpha (x-1))/(x^2+y^2) =\lim_((x,y)\to (0,0)) (-|y|^\alpha )/(x^2+y^2) =$
$ =\lim_(\rho\to 0) (- \rho^\alpha)/(\rho^2)=\lim_(\rho\to 0) (-1)/(\rho^(2-\alpha))= { ( -1 ),( +\infty ),( 0 ):} $
il limite viene $0$ se se e solo se $\alpha>2$
Quindi per $\alpha>2$ la funzione è continua.
Guardo se la funzione ora è derivabile
allora
$ (partial f)/(partial x) (0,0)=\lim_(x\to 0) (f(x,0)-f(0,0))/(x)=0 $ fa zero poichè la $y=0$
mi blocco con $ (partial f)/(partial y)(0,0)=\lim_(y\to 0) (f(0,y)-f(0,0))/(y) $
poichè
$ \lim_(y\to 0) (f(0,y)-f(0,0))/(y)=\lim_(y\to 0) ((-|y|^\alpha)/(y^2))/(y)=\lim_(y\to 0)(-|y|^\alpha)/(y^3) $
e da qui NON so se è esatto dire che $ sgn(y) y^(\alpha-3 )=0 hArr \alpha>3 $
dunque la derivata parziale esiste in $y$ se se e solo se $\alpha>3$. È esatto? Ho grossi dubbi che sia esatto il procedimento..
Qualche suggerimento o strada alternativa?..
Risposte
Per ciò che riguarda la continuità, nonostante il risultato sia corretto, ho qualche appunto da fare:
$0 \leq \frac{|y|^{\alpha}}{x^2+y^2} = \frac{\rho^{\alpha}|\sin \theta|^{\alpha}}{\rho^2} =\rho^{\alpha-2}|\sin \theta|^{\alpha} \leq \rho^{\alpha-2} \to 0$ se $\alpha>2$. E fin qui hai dedotto correttamente che il tuo limite è $0$.
Per gli altri valori di $\alpha$, il tuo ragionamento non ti dà la certezza che il limite non sia $0$, perché hai calcolato il limite di $\rho^{\alpha-2}$ che è una maggiorazione della funzione $f(\rho,\theta)=\rho^{\alpha-2}|\sin \theta|^{\alpha}$.
In generale allora come si fa? Per dimostrare che il limite non è $0$, basta verificare che è diverso da $0$ lungo una direzione. Ad esempio, scelgo la direzione $\theta=\pi/2$ e ottengo che $f(\rho, \pi/2)=\rho^{\alpha-2} \ to l \ne 0$, se $\alpha \leq 2$.
[size=85]Come vedi, la quantità di cui hai calcolato il limite è proprio la funzione lungo una direzione. Per questo motivo hai ottenuto ugualmente il risultato corretto.
Osserva anche che $f(\rho,0)=0 \to 0$ nonostante $\rho^{\alpha-2} \to l \ne 0$.[/size]
Per la derivabilità ciò che dici è corretto. Ricorda che $t \to 0 \Leftrightarrow |t| to 0$. Nel caso in esame, $sgn(y)|y|^{alpha\-3} \to 0 \Leftrightarrow |y|^{\alpha-3} \to 0$
$0 \leq \frac{|y|^{\alpha}}{x^2+y^2} = \frac{\rho^{\alpha}|\sin \theta|^{\alpha}}{\rho^2} =\rho^{\alpha-2}|\sin \theta|^{\alpha} \leq \rho^{\alpha-2} \to 0$ se $\alpha>2$. E fin qui hai dedotto correttamente che il tuo limite è $0$.
Per gli altri valori di $\alpha$, il tuo ragionamento non ti dà la certezza che il limite non sia $0$, perché hai calcolato il limite di $\rho^{\alpha-2}$ che è una maggiorazione della funzione $f(\rho,\theta)=\rho^{\alpha-2}|\sin \theta|^{\alpha}$.
In generale allora come si fa? Per dimostrare che il limite non è $0$, basta verificare che è diverso da $0$ lungo una direzione. Ad esempio, scelgo la direzione $\theta=\pi/2$ e ottengo che $f(\rho, \pi/2)=\rho^{\alpha-2} \ to l \ne 0$, se $\alpha \leq 2$.
[size=85]Come vedi, la quantità di cui hai calcolato il limite è proprio la funzione lungo una direzione. Per questo motivo hai ottenuto ugualmente il risultato corretto.
Osserva anche che $f(\rho,0)=0 \to 0$ nonostante $\rho^{\alpha-2} \to l \ne 0$.[/size]
Per la derivabilità ciò che dici è corretto. Ricorda che $t \to 0 \Leftrightarrow |t| to 0$. Nel caso in esame, $sgn(y)|y|^{alpha\-3} \to 0 \Leftrightarrow |y|^{\alpha-3} \to 0$
"Antimius":
Per dimostrare che il limite non è $0$, basta verificare che è diverso da $0$ lungo una direzione. Ad esempio, scelgo la direzione $\theta=\pi/2$ e ottengo che $f(\rho, \pi/2)=\rho^{\alpha-2} \ to l \ne 0$, se $\alpha \leq 2$.
ma se $\alpha \leq 2$ per $\rho\to 0$ si ha che $\rho^(\alpha -2)\to +\infty$ esatto?
Poi ti volevo chiedere ora..
ora ho trovato che la $ (partial f)/(partial y) (0,0)=0 hArr \alpha>3 $
ora per controllare se è differenziabile, posso tranquillamente farlo facendo uso della definizione
voglio dire usando questo limite
$ \lim_((h,k)\to (0,0)) (f(h,k)-f(0,0)-f_(x)(0,0)h-f_y(0,0)k)/(\sqrt{h^2+k^2}) $
e devo dimostrare che fa $0$..
questo lo posso fare imponendo che $\alpha>3$..altrimenti non sarebbe possibile esatto?
Oppure prima di fare questo..ho bisogno di un'ulteriore conto?
"21zuclo":
[quote="Antimius"] Per dimostrare che il limite non è $0$, basta verificare che è diverso da $0$ lungo una direzione. Ad esempio, scelgo la direzione $\theta=\pi/2$ e ottengo che $f(\rho, \pi/2)=\rho^{\alpha-2} \ to l \ne 0$, se $\alpha \leq 2$.
ma se $\alpha \leq 2$ per $\rho\to 0$ si ha che $\rho^(\alpha -2)\to +\infty$ esatto?
[/quote]
Sì. Con $l$ intendevo un limite diverso da $0$, ma eventualmente anche infinito.
Il resto va bene. La differenziabilità in $(0,0)$ devi controllarla solo per $\alpha > 3$ perché per gli altri valori la funzione non è derivabile in $(0,0)$.
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