$f(x)=x-\root(3)(x^3-1)$
Salve ragazzi , ho da studiare la seguente funzione
$f(x)=x-\root(3)(x^3-1)$
Innanzi tutto $f$ è definita su tutto $RR$. Agli estremi , $x->+-\infty => f(x)->0$ e quindi la retta $y=0$ è asintoto orizzontale per $f$.
Inoltre $f(x)>=0 AA x \in RR$ , infatti,
$x>=\root(3)(x^3-1) <=> x^3>=x^3-1 <=> 0>=-1$. $f \in C(RR)$ ed è $C^{\infty}(RR\\{1})$.
$f'(x)=((\root(3)((x^3+2)^2)-x^2))/(\root(3)((x^3-1)^2)$.Studiando il segno di $f'(X)$ trovo che $f $ è crescente in $]-\infty,1/2[$ e decrescente in $]1/2,+\infty[$ e che $x=1/2$ è un punto di massimo relativo. (1)
Il problema che ho incontrato è per $x_0=1$ , infatti in tale punto $f$ non è derivabile ed è un punto a tangente verticale, tutta via $f(1/2)
$f(x)=x-\root(3)(x^3-1)$
Innanzi tutto $f$ è definita su tutto $RR$. Agli estremi , $x->+-\infty => f(x)->0$ e quindi la retta $y=0$ è asintoto orizzontale per $f$.
Inoltre $f(x)>=0 AA x \in RR$ , infatti,
$x>=\root(3)(x^3-1) <=> x^3>=x^3-1 <=> 0>=-1$. $f \in C(RR)$ ed è $C^{\infty}(RR\\{1})$.
$f'(x)=((\root(3)((x^3+2)^2)-x^2))/(\root(3)((x^3-1)^2)$.Studiando il segno di $f'(X)$ trovo che $f $ è crescente in $]-\infty,1/2[$ e decrescente in $]1/2,+\infty[$ e che $x=1/2$ è un punto di massimo relativo. (1)
Il problema che ho incontrato è per $x_0=1$ , infatti in tale punto $f$ non è derivabile ed è un punto a tangente verticale, tutta via $f(1/2)
Risposte
I limiti sono errati: per $x\to+\infty$ si ha una forma indeterminata (anche se poi calcolando il limite viene zero), mentre per $x\to-\infty$ il limite vale $-\infty$ (e credo ci sia un asintoto obliquo, ad occhio).
La derivata corretta è
$f'(x)=\frac{\root[3]{(x^3-1)^2}-x^2}{\root[3]{(x^3-1)^2}}$
E ti faccio presente che $f(1/2)=1/2(1+\root[3]{7})>1=f(1)$.
Rifai tutto!
La derivata corretta è
$f'(x)=\frac{\root[3]{(x^3-1)^2}-x^2}{\root[3]{(x^3-1)^2}}$
E ti faccio presente che $f(1/2)=1/2(1+\root[3]{7})>1=f(1)$.
Rifai tutto!
@Ciampax.
$EE lim_(x to oo)[x-(x^3-1)^(1/3)]=..=lim_(x to oo) - 1/(x^2)((1-1/(x^3))^(1/3)-1)/( 1/(x^3))=..=0*1/3=0$:
se sbaglio,vuol dire che l'età avanza e non vedo più bene
!
@Kashman.
Non ho ben controllato i tuoi conti,ma per esperienza posso dirti che in casi del genere è quasi sempre un errore sul calcolo della derivata prima
(che per inciso a me sembra essere $1-(x^2)/(root(3)((x^3-1)^2))$,e ciò mi fà propendere,dato quell'$1/2$,
per quest'ipotesi sulla tipologia di errore che hai commesso..)
o sulle considerazioni svolte sul suo segno;
comunque,ad occhio,forse il problema stà nel fatto che hai attenzionato la coppia d'ascisse sbagliata:
io direi piuttosto di guardare cosa accade con $2^(-1/3)$ ed $1$,
che quanto salta fuori dai conti non è in contrasto con l'andamento della monotonia di $f$
..
Saluti dal web.
$EE lim_(x to oo)[x-(x^3-1)^(1/3)]=..=lim_(x to oo) - 1/(x^2)((1-1/(x^3))^(1/3)-1)/( 1/(x^3))=..=0*1/3=0$:
se sbaglio,vuol dire che l'età avanza e non vedo più bene
!@Kashman.
Non ho ben controllato i tuoi conti,ma per esperienza posso dirti che in casi del genere è quasi sempre un errore sul calcolo della derivata prima
(che per inciso a me sembra essere $1-(x^2)/(root(3)((x^3-1)^2))$,e ciò mi fà propendere,dato quell'$1/2$,
per quest'ipotesi sulla tipologia di errore che hai commesso..)
o sulle considerazioni svolte sul suo segno;
comunque,ad occhio,forse il problema stà nel fatto che hai attenzionato la coppia d'ascisse sbagliata:
io direi piuttosto di guardare cosa accade con $2^(-1/3)$ ed $1$,
che quanto salta fuori dai conti non è in contrasto con l'andamento della monotonia di $f$
..Saluti dal web.
Ragazzi , dai miei conti ho che
$lim_{x->+\infty} (x-\root(3)(x^3-1) )=$
$=lim_{x->+\infty} (x-\root(3)(x^3-1) ) * (( x^2+x\root(3)(x^3-1)+\root(3)((x^3-1)^2))/( x^2+x\root(3)(x^3-1)+\root(3)((x^3-1)^2))) = 1/ (( x^2+x\root(3)(x^3-1)+\root(3)(x^3-1)^2))=0$
Analogamente per il caso di $x->-\infty$ , infatti Avrei anche in quel caso un $1/(\infty)$ !
D'altronde così deve essere, altrimenti se per $x->-\infty$ , $f$ divergesse a $-\infty$ avrei che $f<0$ per qualche $ x \in RR$ , ma ciò va contro lo studio del segno che ho fatto prima! Nel quale ho riscontrato che $f>=0 AA x \in RR$.
Dai miei conti ho inoltre che (probabilmente ho sbagliato prima nel calcolo della derivata..)
$f'(x) = D(x-\root(3)(x^3-1))=1-D(\root(3)(x^3-1))=1- (3x^2)/(3*\root(3)((x^3-1)^2))= (\root(3)((x^3-1)^2) -x^2)/(\root(3)((x^3-1)^2))$
Ora, $f'(x)>=0 <=> (\root(3)((x^3-1)^2) -x^2>=0 <=> (x^3-1)^2>=x^6 <=> x^6-2x^3+1>=x^6<=> 2x^3<=1 <=> x<=1/(\root(3)2)$
$x=(1/\root(3)2)$ è di massimo relativo e mi sa che sta volta, i conti son giusti..
ma ancora..
$f((1/\root(3)2))=(1/\root(3)2) - \root(3)(1/2-1)=2/\root(3)(2) <1$.
EDIT : Mi correggo! $2/\root(3)(2) > 1 $ , infatti $2>\root(3)(2) <=>8>2$
Quindi nessun problema!
$lim_{x->+\infty} (x-\root(3)(x^3-1) )=$
$=lim_{x->+\infty} (x-\root(3)(x^3-1) ) * (( x^2+x\root(3)(x^3-1)+\root(3)((x^3-1)^2))/( x^2+x\root(3)(x^3-1)+\root(3)((x^3-1)^2))) = 1/ (( x^2+x\root(3)(x^3-1)+\root(3)(x^3-1)^2))=0$
Analogamente per il caso di $x->-\infty$ , infatti Avrei anche in quel caso un $1/(\infty)$ !
D'altronde così deve essere, altrimenti se per $x->-\infty$ , $f$ divergesse a $-\infty$ avrei che $f<0$ per qualche $ x \in RR$ , ma ciò va contro lo studio del segno che ho fatto prima! Nel quale ho riscontrato che $f>=0 AA x \in RR$.
Dai miei conti ho inoltre che (probabilmente ho sbagliato prima nel calcolo della derivata..)
$f'(x) = D(x-\root(3)(x^3-1))=1-D(\root(3)(x^3-1))=1- (3x^2)/(3*\root(3)((x^3-1)^2))= (\root(3)((x^3-1)^2) -x^2)/(\root(3)((x^3-1)^2))$
Ora, $f'(x)>=0 <=> (\root(3)((x^3-1)^2) -x^2>=0 <=> (x^3-1)^2>=x^6 <=> x^6-2x^3+1>=x^6<=> 2x^3<=1 <=> x<=1/(\root(3)2)$
$x=(1/\root(3)2)$ è di massimo relativo e mi sa che sta volta, i conti son giusti..
ma ancora..
$f((1/\root(3)2))=(1/\root(3)2) - \root(3)(1/2-1)=2/\root(3)(2) <1$.
EDIT : Mi correggo! $2/\root(3)(2) > 1 $ , infatti $2>\root(3)(2) <=>8>2$
Quindi nessun problema!
@theras: Ah sì, in entrambi i casi vengono forme indeterminate: non so perché con $x\to-\infty$ mi veniva una cosa infinita.
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