$f(x)=ln(log_{sinx}(arctgx)) $ordine di infinitesimo?
Salve ragazzi ho il seguente quesito :
Sia $f(x)=ln(log_{sinx}(arctgx)) $ . Dire se per $x->0$ è infinitesima e in tal caso dire se è un infinitesimo di ordine :
1) $<1$ 2) $=1$ , 3) $>1$,4 ) $<2$ , 5) $=2$, $6) =2$.
Per la prima parte dell'esercizio non vi sono problemi in quanto :
Per le proprietà dei logaritmi posso riscrivere $f$ al seguente modo
$f(x)=ln(ln(arctgx)/ln(sinx))$ . Considero $g(x)=ln(arctgx)/ln(sinx)$
Noto che per $x->0 => g(x)->1$ infatti , constatando che se $j$ è un intorno di $0$ , $ln(sinx) !=0 AA x \in J $ e anche $D(ln(sinx)) = cosx/sinx !=0 AA x \in J$. E che $ln(arctgx) , ln(sinx)$ sono derivabili in $J$, applicando Hopital ho che
$lim_{x->0} g(x) =^Hlim_{x->0}g'(x)= (sinx)/(arctgx * (1+x^2))=1$ e che quindi per il teorema del limite di funzioni composte $lim_{x->0} f(x) = ln(1)=0$ e cioé $f(x) $ infinitesima in 0.
Circa l'ordine sono bloccato ..
la strada del confronto con un infinitesimo campione mi sembra lunga e dispendiosa..e controproducente. Avete qualche consiglio da darmi?
Vi ringrazio anticipatamente.
Sia $f(x)=ln(log_{sinx}(arctgx)) $ . Dire se per $x->0$ è infinitesima e in tal caso dire se è un infinitesimo di ordine :
1) $<1$ 2) $=1$ , 3) $>1$,4 ) $<2$ , 5) $=2$, $6) =2$.
Per la prima parte dell'esercizio non vi sono problemi in quanto :
Per le proprietà dei logaritmi posso riscrivere $f$ al seguente modo
$f(x)=ln(ln(arctgx)/ln(sinx))$ . Considero $g(x)=ln(arctgx)/ln(sinx)$
Noto che per $x->0 => g(x)->1$ infatti , constatando che se $j$ è un intorno di $0$ , $ln(sinx) !=0 AA x \in J $ e anche $D(ln(sinx)) = cosx/sinx !=0 AA x \in J$. E che $ln(arctgx) , ln(sinx)$ sono derivabili in $J$, applicando Hopital ho che
$lim_{x->0} g(x) =^Hlim_{x->0}g'(x)= (sinx)/(arctgx * (1+x^2))=1$ e che quindi per il teorema del limite di funzioni composte $lim_{x->0} f(x) = ln(1)=0$ e cioé $f(x) $ infinitesima in 0.
Circa l'ordine sono bloccato ..
la strada del confronto con un infinitesimo campione mi sembra lunga e dispendiosa..e controproducente. Avete qualche consiglio da darmi? Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
De L'Hopital? Con Taylor al prim'ordine fai prima 
Ad occhio comunque, mi pare un'infinitesimo di ordine $1$, ma non vorrei dire stronzate. Non penso si possa risolvere in altri modi il problema: intraprendi la "solita" strada 
Ad occhio comunque, mi pare un'infinitesimo di ordine $1$, ma non vorrei dire stronzate. Non penso si possa risolvere in altri modi il problema: intraprendi la "solita" strada
Per iniziare puoi provare a capire di che ordine è l'infinitesimo $"log"_("sen"x)"arctg"x-1$:
a quel punto potresti fare considerazioni analoghe a quelle già fatte(da Ciampax,mi pare..)in un thread che hai proposto da poco.
Saluti dal web.
a quel punto potresti fare considerazioni analoghe a quelle già fatte(da Ciampax,mi pare..)in un thread che hai proposto da poco.
Saluti dal web.
Salve theras. Il problema forse stà proprio nell'individuare l'ordine di $log_{sinx}arctgx-1$..a tal fine dovrei considerare
$lim_{x->0} (log_{sinx}arctgx-1)/x^{\beta} = lim_{x->0} (ln(arctgx)-ln(sin(x)))/(x^{\beta}ln(sinx)$
A questo punto mi sentirei tentato di utilizzare Taylor notando ad esempio che in un intorno di 0 :
$arctgx = x+x^3/3+o(x^4)$ , $sinx=x-x^3/(3!)+o(x^4)$
e dunque ponendo $ln(arctgx)=ln(1+(arctgx-1)=ln(1+(x+x^3/3+o(x^4))$ e $ln(sin(x))=ln(1+(sinx-1))=ln((1+(-1+x-x^3/(3!)+o(x^4))$, qui in teoria svilupperei $ln(f(x))$ con taylor.. ma c'è un problema $sinx-1$ e $arctgx-1$ non sono infinitesime per $x->0$...
cosa mi sto perdendo?
$lim_{x->0} (log_{sinx}arctgx-1)/x^{\beta} = lim_{x->0} (ln(arctgx)-ln(sin(x)))/(x^{\beta}ln(sinx)$
A questo punto mi sentirei tentato di utilizzare Taylor notando ad esempio che in un intorno di 0 :
$arctgx = x+x^3/3+o(x^4)$ , $sinx=x-x^3/(3!)+o(x^4)$
e dunque ponendo $ln(arctgx)=ln(1+(arctgx-1)=ln(1+(x+x^3/3+o(x^4))$ e $ln(sin(x))=ln(1+(sinx-1))=ln((1+(-1+x-x^3/(3!)+o(x^4))$, qui in teoria svilupperei $ln(f(x))$ con taylor.. ma c'è un problema $sinx-1$ e $arctgx-1$ non sono infinitesime per $x->0$...
cosa mi sto perdendo?
Secondo me ti basta usare gli sviluppi di Taylor da te scritti,ed operare opportunamente al numeratore della funzione argomento,per verificare che $EE lim_(x to 0^+)(("log(arctgx)-log(senx)")/("logsenx"))/(x^2)=0$:
dovrebbe esser sufficiente questo fatto,per concludere tanto sull'ordine d'infinitesimo in questione che su quello iniziale..
Saluti dal web.
P.S.Io non amo molto sviluppi di Taylor e simboli di Landau,in questi contesti:
ma in certi casi se ne devono cantare le lodi..
dovrebbe esser sufficiente questo fatto,per concludere tanto sull'ordine d'infinitesimo in questione che su quello iniziale..
Saluti dal web.
P.S.Io non amo molto sviluppi di Taylor e simboli di Landau,in questi contesti:
ma in certi casi se ne devono cantare le lodi..
Allora opererei al seguente modo,
$lim_{x->0^+} ( (ln(arctgx)-ln(sinx))/(ln(sinx)x^2))=$
Sviluppando con taylor ho che :
$ln(arctgx)=-1+x+x^3/(3)+o(x^4)$
$ln(sinx) = -1+x-x^3/(3!)+o(x^4)$ dunque
$lim_{x->0^+} ( ln(arctgx)-ln(sinx)/ln(sinx)x^2)=lim_{x->0}(-1+x+x^3/(3)+1-x+x^3/(3!)+o(x^4))/(x^2(-1+x-x^3/(3!)+o(x^4))$ (1) Dove sfoltendo un po i conti mi rimane che :
(1)=$lim_{x->0} ((1/3+1/(3!))x^3)/-x^2 =0$- Ciò mostrerebbe che la funzione $h(x)=log_{sinx}(arctgx)-1$ è infinitesima in zero $>2$.
Ora tornando alla funzione di partenza, ho da considerare $f(x)=ln(log_{sin(x)arctgx)$ che posso riscrivere come
$f(x)=ln(1+(log_{sinx}arctgx -1))$ Mi trovo dunque di fronte a una composizione di funzioni infinitesime. $ln(1+t)$ che ha ordine $1$ e $h(x)$ ha ordine $>2$ dunque complessivamente $f(x)$ è un infinitesimo di ordine $>2$.
E' lecito tutto ciò? Grazie mille.
$lim_{x->0^+} ( (ln(arctgx)-ln(sinx))/(ln(sinx)x^2))=$
Sviluppando con taylor ho che :
$ln(arctgx)=-1+x+x^3/(3)+o(x^4)$
$ln(sinx) = -1+x-x^3/(3!)+o(x^4)$ dunque
$lim_{x->0^+} ( ln(arctgx)-ln(sinx)/ln(sinx)x^2)=lim_{x->0}(-1+x+x^3/(3)+1-x+x^3/(3!)+o(x^4))/(x^2(-1+x-x^3/(3!)+o(x^4))$ (1) Dove sfoltendo un po i conti mi rimane che :
(1)=$lim_{x->0} ((1/3+1/(3!))x^3)/-x^2 =0$- Ciò mostrerebbe che la funzione $h(x)=log_{sinx}(arctgx)-1$ è infinitesima in zero $>2$.
Ora tornando alla funzione di partenza, ho da considerare $f(x)=ln(log_{sin(x)arctgx)$ che posso riscrivere come
$f(x)=ln(1+(log_{sinx}arctgx -1))$ Mi trovo dunque di fronte a una composizione di funzioni infinitesime. $ln(1+t)$ che ha ordine $1$ e $h(x)$ ha ordine $>2$ dunque complessivamente $f(x)$ è un infinitesimo di ordine $>2$.
E' lecito tutto ciò? Grazie mille.
Se conta qualcosa,ti dico che non avrei saputo far di meglio 
:
saluti dal web.
:saluti dal web.
Ti ringrazio Theras
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