$f(x)=int_0^xt/e^(1/t^2)$ provare che è pari

[nunziox]

Per definizione una funzione è pari se f(-x)=f(x) quindi ad esempio $f(x)=x^2$ + pari perché f$(1)=1$ e $f(-1)=1$.
Ma nel mio caso come faccio???
Potrebbe essere:

$f(x)=int_0^xt/e^(1/t^2)$
$f(-x)=-int_-x^0t/e^(1/t^2)$

Cosa mi manca??

[Quinzio]

Mi sembra di ricordare che la derivata di una funzione inverte la parità.
Cioè:
$f$ pari --> $f\ '$ dispari
$f$ dispari --> $f\ '$ pari
$f$ non (pari o dispari) --> $f\ '$ non (pari o dispari)

[nunziox]

Grazie mille! Grazie al tuo indizio ho trovato la spiegazione!

Ricordavi bene.

Proprietà fondamentali:

l'unica funzione che è sia pari che dispari è la funzione costante
in generale, la somma di una funzione pari e di una dispari non è né pari né dispari; ad esempio,
la somma di due funzioni pari è a sua volta pari, ed il prodotto di una funzione pari per una costante è pure pari
la somma di due funzioni dispari è a sua volta dispari, ed il prodotto di una funzione dispari per una costante è pure dispari
il prodotto di due funzioni pari è una funzione pari
il prodotto di due funzioni dispari è una funzione pari
il prodotto di una funzione pari e di una funzione dispari è una funzione dispari

la derivata di una funzione pari è dispari
la derivata di una funzione dispari è pari

l'integrale su intervalli del tipo [-a,a] di una funzione dispari è 0

http://it.wikipedia.org/wiki/Funzioni_pari_e_dispari

quindi deve essere
$ f'(-x)=-f'(x) $

$f'(x)=x/e^(1/x^2)$
$f'(-x)=-x/e^(1/x^2)$

$f'(x)$ è dispari => $f(x)$ è pari

[ciampax]

Sì, ma senza ricordare tutta sta roba, basta fare così:

$f(-x)=\int_0^{-x}\frac{t}{e^{1/t^2}}\ dt=$ con la sostituzione $t=-s,\ t=0\to s=0,\ t=-x\to s=x$
$=\int_0^x -\frac{s}{e^{1/s^2}}\ (-ds)=f(x)$

[nunziox]

Non la sto seguendo perfettamente.
Allora vogliamo dimostrare che f(-x)=f(x) quindi è pari.

Stiamo dicendo che

$f(-x)=int_0^ - x t/e^(1/t^2)=f(x)$

ma non ho capito bene il discorso della sostituzione!

[ciampax]

Sai cosa dice la formula di sostituzione? Ho fatto quello.