$f(x)=e^x-e^sinx$

[Kashaman]

Mi chiede di stabilire mediante gli sviluppi di taylor, l'ordine di infinitesimo della funzione $f(x)=e^x-e^sinx$ per $x->0$.
Credo di star sbagliando da qualche parte.. ma non riesco a capire dove
Tenendo a mente che in un intorno di $0$ , $e^x=1+x+x^2/2+x^3/(3!)+o(x^3)$ e che $sinx=x-x^3/(3!)+o(x^4)$
si ha che $e^sinx= e^(x-x^3/(3!)+o(x^4) $$=1+ (x-x^3/(3!)+o(x^4) ) +o(x^4) = 1+x-x^3/(3!)+o(x^4)$
e quindi $e^x-e^sinx = x^2/2+x^3/3+o(x^3)$ e quindi $f$ ha ordine $2$.

Ma non ne sono pienamente convinto, la fonte dell'esercizio afferma che l'ordine è 3.
Dove sbaglio? Grazie mille.

[ciampax]

Più facile ragionare così:

$e^\sin x=e^{x-x^3/6+o(x^3)}=e^x\cdot e^{-x^3/6+o(x^3)}$

da cui

$e^x-e^{\sin x}=e^x-e^x\cdot e^{-x^3/6+o(x^3)}=e^x(1-e^{-x^3/6+o(x^3)})=e^x(1-1+x^3/6+o(x^3))=e^x(x^3/6+o(x^3))$

e dal momento che $\lim_{x\to 0} e^x=1$, ne deduci l'ordine di infinitesimo (che è effettivamente 3).

[Kashaman]

grazie ciamp!