$f(x) := \frac{1}{2} \int_{x-1}^{x+1} \frac{dt}{t^4 + 1}$

[ncant04]

Ciao a tutti. Mi sono imbattuto in questa traccia d'esame:

Si consideri $x \in \mathbb{R} $ e la funzione $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ di legge
\[
f(x) := \frac{1}{2} \int_{x-1}^{x+1} \frac{dt}{t^4 + 1};
\]
verificare che la funzione sia effettivamente definita su tutto $\mathbb{R}$. Si tratta di una funzione continua? Derivabile?

Soluzione del Prof.
La funzione dentro l'integrale è continua e uniformemente limitata e quindi sappiamo che l'integrale è definito per ogni $x$.

\begin{align*}
| f(x + \delta) - f(x) | &= \frac{1}{2} \left| \int_{x + \delta - 1}^{x + \delta + 1} \frac{dt}{1 + t^4} - \int_{x-1}^{x+1} \frac{dt}{1+t^4}\right| \\
& \leq \frac{1}{2} \left| \int_{x-1}^{x + \delta - 1} \frac{dt}{1 + t^4}\right| + \frac{1}{2} \left| \int_{x+1}^{x + \delta + 1} \frac{dt}{1 + t^4} \right| \\
& \to 0 \quad \text{per } \delta \to 0 \text{.}
\end{align*}

...il problema è che non so cosa vuole dimostrare con questo calcolo, e si ferma lì.
Secondo voi di cosa si tratta?

EDIT: assomiglia alla relazione di una funzione uniformemente lipschitziana.

[otta96]

Ha dimostrato la continuità della funzione. la derivabilità come la faresti?