F(x) := \begin{cases} x^x & \text{per } x > 0 \\ 0 & \text{per } x = 0 \end{cases}

[ncant04]

[highlight]Si consideri la funzione $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ di legge:
\[
f(x) := \begin{cases}
x^x & \text{per } x > 0 \\
0 & \text{per } x = 0
\end{cases}
\text{.}
\]

1) $f$ è continua? Derivabile?
2) Calcolare $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
3) $f$ è convessa?
4) Realizzare un grafico qualitativo di $f$ al variare di $x$.
5) Quante soluzioni ha $f(x) = a$ al variare di $a \in \mathbb{R}$?
6) Determinare il carattere delle serie seguenti:
\[
\text{a)} \; \sum_{n=1}^\infty \sqrt[n]{\frac{1}{n}}; \quad
\text{b)} \; \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^n} \text{.}
\]
[/list:u:1nfxd0nf][/highlight]
Mi servirebbe una mano per i punti 3 e 5. Al momento questo è quello che ho ottenuto:

[size=150]Punto 1[/size]
\begin{align*}
\lim_{x \to 0^+} f(x) &= \lim_{x \to 0^+} x^x = \lim_{x \to 0^+} \exp \left[ \ln (x^x) \right] =
\lim_{x \to 0^+} \exp \left( x \ln x \right) \\
&= \exp \left( \lim_{x \to 0^+} x \ln x \right) = \exp \left( \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} \right)
\end{align*}
Quest'ultimo limite dà una forma di indeterminazione $\left[ \frac{\infty}{\infty}\right]$, rendendola un candidato per la regola di de l'Hôpital. Infatti:
\[
\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{D(\ln x)}{D(1/x)} =
\lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = -\lim_{x \to 0^+} x = 0 \text{.}
\]
Pertanto $\lim_{x \to 0^+} f(x) = e^0 = 1$.
Quanto trovato però differisce da $f(0) = 0$, dunque $f(x)$ non è continua in $x = 0$. Di conseguenza, $f(x)$ è derivabile per $x in {\mathbb{R}^+ - 0}$.

[size=150]Punto 2[/size]
\[
\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x^x = \exp \left( \lim_{x \to +\infty} x \ln x \right) = e^{+\infty} = +\infty
\]

[size=150]Punto 3[/size]
$f(x)$ è convessa, ma temo che per dimostrarlo devo usare una delle relazioni [url=qui riportate]https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_convessa[/url].

[size=150]Punto 4[/size]
Dal punto 4 già si sa che la funzione è convessa. Calcoliamo la derivata prima di $f(x)$. Ponendo $g = x \ln x$, risulta:
\begin{align*}
f'(x) &= \frac{d (x^x)}{dx} = \frac{d}{dx} \left[ (e^{\ln x})^x \right] \frac{d}{dx} [\exp(x \ln x)] = \frac{d}{dg} (e^g) \cdot \frac{d}{dx} (x \ln x) \\
&= e^g \left( \frac{1}{x} \cdot x + \ln x \right) = \exp (x \ln x) (1 + \ln x)
= (1 + \ln x)x^x
\end{align*}
e studiamone la positività, ossia:
\[
f'(x) \geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad x \geq \frac{1}{e} \approx 0{,}368
\]


- $f $ è decrescente per $x < 1 / e$;
- $f$ ha un minimo globale per $x = 1 / e$;
- $f$ è crescente per $x \geq 1 / e$;
- (bonus) $f$ non è limitata superiormente (vedi punto 2).
[/list:u:1nfxd0nf]
Da quanto appena ottenuto, si può tracciare un grafico approssimativo.

[size=150]Punto 5[/size]
Scritta malissimo secondo me (help)
\[
\text{numero di soluzioni} = \begin{cases}
0 &\text{per } -\infty < a < 0 \vee 0 < x < 1/e \\
1 &\text{per } a = 0 \vee a = \frac{1}{e} \vee a \geq 1 \\
2 &\text{per } \frac{1}{e} < a < 1
\end{cases}
\]

[size=150]Punto 6[/size]
Si trova facilmente che la serie a) è divergente. Infatti:
\[
\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}} = \left( \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n}\right)^{-1} = 1 \text{;}
\]
mentre, per la serie b), applicando il criterio della radice, risulta:
\[
\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n^n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0 < 1
\]
dunque converge.

Qualcuno può aiutarmi?

[otta96]

La 5) va bene, la 6) b no, hai applicato il criterio della radice ad un'altra serie. Per il 3), prova a vedere con la derivata seconda. Gli altri vanno bene.

[ncant04]

"otta96":[...] la 6) b no, hai applicato il criterio della radice ad un'altra serie.

No, sono io che ho scritto male quella serie nel testo. In realtà è
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^n}
\]
(correggo...)

"otta96":[...] Per il 3), prova a vedere con la derivata seconda.

Non "vorrei", perché

1. se fosse stato davvero necessario usare la derivata seconda, il Prof. l'avrebbe messa dopo il punto 5;
2. non è proprio una cosa bellissima da calcolare, specialmente se hai poco tempo a disposizione (come nei test d'esame come questo qui).
[/list:u:s4przdnh]



"otta96": Gli altri vanno bene.

[otta96]

Eh, o dimostri che la derivata prima è crescente o che la seconda è positiva, ma a occhio non sembra facilissimo dimostrare che la derivata è crescente, fatica da qualche parte devi farla. Inoltre derivare deve diventare una cosa quasi automatica che non ti porta via tanto tempo. Provaci.

[ghira1]

Il valore a 0 non rovina la convessità?

[otta96]

Ah già, eh si certo, la mia mente stava erroneamente ragionando sul prolungamento per continuità della funzione.

[pilloeffe]

Ciao ncant,

"ncant":Non "vorrei", perché

1. se fosse stato davvero necessario usare la derivata seconda, il Prof. l'avrebbe messa dopo il punto 5;
2. non è proprio una cosa bellissima da calcolare, specialmente se hai poco tempo a disposizione (come nei test d'esame come questo qui).

In realtà la derivata seconda della funzione proposta è piuttosto semplice da calcolare, si ha:

$f''(x) = x^x [1/x + (1 + ln x)^2] $

Sicuramente è positiva $\forall x > 0 $

[dissonance]

"ghira":Il valore a 0 non rovina la convessità?

Esatto: secondo me era questo che il Prof. voleva si notasse ( mi fa sorridere questo uso di scrivere Prof con la lettera maiuscola, come se fosse un alto prelato).

Per esempio il segmento che congiunge $(x, y)=(0,0)$ con il minimo locale di $f$ giace tutto al di sotto del grafico, e quindi la funzione non è convessa.