F(x) a tratti con parametri. Dubbio procedimento
Ciao a tutti sono alle prese con questo esercizio, ma non riesco a capire se il passaggio che ho fatto è quello giusto. Lo spiego mentre lo faccio. Aiutatemi a capire e se c'è qualcosa che non va o se avreste fatto in modo diverso ditelo pure . Grazie in anticipo
Sia $f_\alpha (x)={(\ln(2\alpha+x), x\geq 0),(\exp(1/x), x<0):}$
Determinare il parametro $\alpha>0$ in modo che la funzione $f_\alpha (x)$ sia continua in $x=0$. Dimostrare che tale funzione non è derivabile in $x=0$
ho provato a svolgere così
per la continuità
$\lim_{x\to 0^+}\ln(2\alpha+x)=\ln(2\alpha)=f(0)$
$\lim_{x\to 0^-} \exp(1/x)=0$
per cui per la continuità deve essere $\ln(2\alpha)=0\to \ln(2\alpha)=\ln 1\to \alpha=1/2$
per la derivabilità
faccio i limiti del rapporto incrementale destro e sinistro
$\lim_{x\to 0^+}(f(x)-f(0))/(x-0)=\lim_{x\to 0^+}(\ln(2\alpha+x)-\ln(2\alpha))/(x)=\lim_{x\to 0^+} (\ln(2\alpha+x))/x-(\ln(2\alpha))/x$
allora la seconda quantità cioè $(\ln(2\alpha))/x=0$ per la continuità!
ecco è qui che non so se faccio bene, ditemi se è corretto
quindi il limite è $\lim_{x\to 0^+} (\ln(2\alpha+x))/x=$ sostituisco $\alpha=1/2$ (l'ho presa dalla continuità)
quindi $\lim_{x\to 0^+} (\ln(1+x))/x=1$
poi faccio il limite sinistro
$\lim_{x\to 0^-} (\exp(1/x)-\ln(2\alpha))/(x)=\lim_{x\to 0^-} (\exp(1/x))/(x)=\lim_{x\to 0^-} (\exp(1/x))/(\exp(\ln x))=$
$=\lim_{x\to 0^-} \exp(1/x-\ln x)=\lim_{x\to 0^-} \exp((1-x\ln x)/x)=0$
in $x=0$ non è derivabile perchè si ha un punto angoloso.
Sia $f_\alpha (x)={(\ln(2\alpha+x), x\geq 0),(\exp(1/x), x<0):}$
Determinare il parametro $\alpha>0$ in modo che la funzione $f_\alpha (x)$ sia continua in $x=0$. Dimostrare che tale funzione non è derivabile in $x=0$
ho provato a svolgere così
per la continuità
$\lim_{x\to 0^+}\ln(2\alpha+x)=\ln(2\alpha)=f(0)$
$\lim_{x\to 0^-} \exp(1/x)=0$
per cui per la continuità deve essere $\ln(2\alpha)=0\to \ln(2\alpha)=\ln 1\to \alpha=1/2$
per la derivabilità
faccio i limiti del rapporto incrementale destro e sinistro
$\lim_{x\to 0^+}(f(x)-f(0))/(x-0)=\lim_{x\to 0^+}(\ln(2\alpha+x)-\ln(2\alpha))/(x)=\lim_{x\to 0^+} (\ln(2\alpha+x))/x-(\ln(2\alpha))/x$
allora la seconda quantità cioè $(\ln(2\alpha))/x=0$ per la continuità!
ecco è qui che non so se faccio bene, ditemi se è corretto
quindi il limite è $\lim_{x\to 0^+} (\ln(2\alpha+x))/x=$ sostituisco $\alpha=1/2$ (l'ho presa dalla continuità)
quindi $\lim_{x\to 0^+} (\ln(1+x))/x=1$
poi faccio il limite sinistro
$\lim_{x\to 0^-} (\exp(1/x)-\ln(2\alpha))/(x)=\lim_{x\to 0^-} (\exp(1/x))/(x)=\lim_{x\to 0^-} (\exp(1/x))/(\exp(\ln x))=$
$=\lim_{x\to 0^-} \exp(1/x-\ln x)=\lim_{x\to 0^-} \exp((1-x\ln x)/x)=0$
in $x=0$ non è derivabile perchè si ha un punto angoloso.
Risposte
Per il secondo limite: fai prima ponendo $x=1/t$ per cui $t\to-\infty$ e quindi
$\lim_{t\to -\infty} te^t=\lim_{t\to-\infty} t/{e^{-t}}=0$
In ogni caso, è tutto corretto.
$\lim_{t\to -\infty} te^t=\lim_{t\to-\infty} t/{e^{-t}}=0$
In ogni caso, è tutto corretto.
"ciampax":
Per il secondo limite: fai prima ponendo $x=1/t$ per cui $t\to-\infty$ e quindi
$\lim_{t\to -\infty} te^t=\lim_{t\to-\infty} t/{e^{-t}}=0$
In ogni caso, è tutto corretto.
ah ok grazie!
quel procedimento dove ho sostituito $\alpha=1/2$, l'ho fatto perchè l'avevo visto su un eserciziario. Cioè quindi quando mi capitano questi esercizi devo sempre sostituire come ho fatto qui?..
il mio esercitatore di analisi matematica, dice che non dobbiamo fare direttamente la derivata di ogni singolo pezzo e poi fare il limite, ma ci ha detto che è consigliabile fare il limite del rapporto incrementale. Ecco perchè ho fatto uso del limite
Sì, sempre meglio, una volta determinata la continuità, sostituire i valori, magari riscrivendo proprio la funzione, e poi determinare la derivabilità da lì.
Per quello che dice il tuo esercitatore: assolutamente vero! Tu vuoi dimostrare la derivabilità: se calcoli la derivata stai supponendo che essa esista, e quindi è come un serpente che si morde la coda!
Per quello che dice il tuo esercitatore: assolutamente vero! Tu vuoi dimostrare la derivabilità: se calcoli la derivata stai supponendo che essa esista, e quindi è come un serpente che si morde la coda!
Scusate se mi intrommeto, ma avrei una domanda a proposito di questa cosa
pure il mio professore ha detto di fare il limite del rapporto incrementale ecc, proprio come ha fatto 55sarah
ma ho una domanda, se mi capita un rapporto incrementale in cui non riesco a levarmi di torno il caso $0/0$, perchè oggi ho fatto un esercizio in cui ho applicato sempre il rapporto incrementale (era un esercizio simile a questo di 55sarah) e il limite del rapporto incrementale, sia con le sostituzioni sia smanettando mi veniva sempre $0/0$
A questo punto posso fare la derivata prima e calcolarne il limite?.. che poi è come se stessi applicando Hopital
"ciampax":
Per quello che dice il tuo esercitatore: assolutamente vero! Tu vuoi dimostrare la derivabilità: se calcoli la derivata stai supponendo che essa esista, e quindi è come un serpente che si morde la coda!
pure il mio professore ha detto di fare il limite del rapporto incrementale ecc, proprio come ha fatto 55sarah
ma ho una domanda, se mi capita un rapporto incrementale in cui non riesco a levarmi di torno il caso $0/0$, perchè oggi ho fatto un esercizio in cui ho applicato sempre il rapporto incrementale (era un esercizio simile a questo di 55sarah) e il limite del rapporto incrementale, sia con le sostituzioni sia smanettando mi veniva sempre $0/0$
A questo punto posso fare la derivata prima e calcolarne il limite?.. che poi è come se stessi applicando Hopital
No, di nuovo per lo stesso motivo di prima: in quei casi o procedi cercando di usare i confronti locali (equivalentemente: i limiti notevoli) oppure applichi li sviluppi di Taylor.
E in generale: meglio non usare de l'Hopital, può rivelarsi un'arma a doppio taglio (troppe ipotesi da verificare che, a parte casi "facili" possono divenire una tortura).
E in generale: meglio non usare de l'Hopital, può rivelarsi un'arma a doppio taglio (troppe ipotesi da verificare che, a parte casi "facili" possono divenire una tortura).
"ciampax":
No, di nuovo per lo stesso motivo di prima: in quei casi o procedi cercando di usare i confronti locali (equivalentemente: i limiti notevoli) oppure applichi li sviluppi di Taylor.
E in generale: meglio non usare de l'Hopital, può rivelarsi un'arma a doppio taglio (troppe ipotesi da verificare che, a parte casi "facili" possono divenire una tortura).
allora suggeriscimi tu come posso fare...almeno l'idea..l'esercizio è
siano $a,b$ due parametri positivi e sia $f(x)={(2-x+\ln x, 0
A) per quali valori dei parametri positivi la funzione è continua in $x=1$ ?
B) per quali valori dei parametri positivi la funzione è derivabile in $x=1$ ?
ora per far breve i passaggi, il mio problema è il punto B della seconda funzione.
allora in 0 la funzione non è derivabile.
faccio poi $x\to 1^-$ .. $2-x+\ln(x)\to 1$ .. e $f(1)=1$
poi faccio $\lim_{x\to 1^+} \sqrt{(2ax+b+1)/(4x+5)}= \sqrt{(2a+b+1)/(9)}$
ok poi faccio per la continuità $\sqrt{(2a+b+1)/(9)}=1\to 2a+b=8$
OK ORA FACCIO IL PUNTO B
$\lim_{x\to 1^-} (f(x)-f(1))/(x-1)=\lim_{x\to 1^-} (2-x+\ln x-1)/(x-1)=( ( h=x-1\to 0 ),( x=h+1 ) )=\lim_{h\to 0}(2-t-1+\ln(t+1)-1)/(t)=0$
(ho tolto un passaggio intermedio per far prima)
ora il mio problema sta qui
$\lim_{x\to 1^+} (f(x)-f(1))/(x-1)=\lim_{x\to 1^+} (\sqrt{(2ax+b+1)/(4x+5)}-1)/(x-1)$
ecco non so come comportarmi, ho provato anche a sostutire $b=8-2a$ ma nulla da fare!
sempre $0/0$Quindi qui che faccio? Dammi un consiglio per favore!
EDIT: mi è venuto in mente una cosa.. faccio lo sviluppo di Taylor di questa funzione $f(x)=\sqrt{(2ax+b+1)/(4x+5)}$ nel punto $x_0=1$. Esatto?
Uhm visto che il rapporto incrementale per $x->1^-$ è uguale a $0$ per far si che sia $0$ anche per $x->1^(+)$ dovrai imporre che $sqrt((2ax+b+1)/(4x+5))-1=0$... da cui ottieni che $a=2$ e $b=4$...
"Obidream":
Uhm visto che il rapporto incrementale per $x->1^-$ è uguale a $0$ per far si che sia $0$ anche per $x->1^(+)$ dovrai imporre che $sqrt((2ax+b+1)/(4x+5))-1=0$... da cui ottieni che $a=2$ e $b=4$...
wow! questo procedimento vale sempre?..se sì lo uso!..mi fa risparmiare tempo e conti!
hai fatto così giusto? me lo puoi confermare?
$\sqrt{(2ax+b+1)/(4x+5)}-1=0\to \sqrt{(2ax+b+1)/(4x+5)}=1\to (2ax+b+1)/(4x+5)=1\to 2ax+b+1=4x+5\to$
$\to {(2ax=4x),(b+1=5):}\to {(a=2),(b=4):}$
Non vedo la difficoltà nel calcol del limite: basta sporcarsi un po' le mani. Ponendo $x-1=t$ si ha
$\lim_{x\to 1^-}\frac{2-x+\ln x-1}{x-1}=\lim_{t\to 0^-}\frac{\ln(1+t)-t}{t}=\lim_{t\to 0^-}\frac{\ln(t+1)}{t}-1=0$
ed essendo $b=8-2a$
$\lim_{x\to 1^+}\frac{\sqrt{\frac{2a(x-1)+9}{4x+5}}-1}{x-1}=\lim_{t\to 0^+}\frac{\sqrt{\frac{2at+9}{4t+9}}-1}{t}=\lim_{t\to 0^+}\frac{\sqrt{2at+9}-\sqrt{4t+9}}{t\sqrt{4t+9}}=$
osservando che $\sqrt{4t+9}\to 3$ per $t\to 0$ e antirazionalizzando con $\sqrt{2at+9}+\sqrt{4t+9}$
$=\lim_{t\to 0^+}\frac{2at+9-4t-9}{3t(\sqrt{2at+9}+\sqrt{4t+9})}=\lim_{t\to 0^+}\frac{(2a-4)t}{18t}=\frac{a-2}{4}$
e quindi $a=2$, da cui anche $b=4$.
$\lim_{x\to 1^-}\frac{2-x+\ln x-1}{x-1}=\lim_{t\to 0^-}\frac{\ln(1+t)-t}{t}=\lim_{t\to 0^-}\frac{\ln(t+1)}{t}-1=0$
ed essendo $b=8-2a$
$\lim_{x\to 1^+}\frac{\sqrt{\frac{2a(x-1)+9}{4x+5}}-1}{x-1}=\lim_{t\to 0^+}\frac{\sqrt{\frac{2at+9}{4t+9}}-1}{t}=\lim_{t\to 0^+}\frac{\sqrt{2at+9}-\sqrt{4t+9}}{t\sqrt{4t+9}}=$
osservando che $\sqrt{4t+9}\to 3$ per $t\to 0$ e antirazionalizzando con $\sqrt{2at+9}+\sqrt{4t+9}$
$=\lim_{t\to 0^+}\frac{2at+9-4t-9}{3t(\sqrt{2at+9}+\sqrt{4t+9})}=\lim_{t\to 0^+}\frac{(2a-4)t}{18t}=\frac{a-2}{4}$
e quindi $a=2$, da cui anche $b=4$.
cavolo, come ho fatto a non vedere subito sta cosa!..eppure c'ero andato quasi vicino con i miei tentativi! 
sono un babbo!..la prox volta starò più attento! Comunque grazie ad entrambi i consigli! e scusate se ho disturbato!
"ciampax":
ed essendo $b=8-2a$
$\lim_{x\to 1^+}\frac{\sqrt{\frac{2a(x-1)+9}{4x+5}}-1}{x-1}=\lim_{t\to 0^+}\frac{\sqrt{\frac{2at+9}{4t+9}}-1}{t}=\lim_{t\to 0^+}\frac{\sqrt{2at+9}-\sqrt{4t+9}}{t\sqrt{4t+9}}=$
sono un babbo!..la prox volta starò più attento! Comunque grazie ad entrambi i consigli! e scusate se ho disturbato!
Ma che disturbato? Anzi! L'importante è che, quando si chiede, non lo si faccia perché si spera di ricevere la pappa pronta! 
Quando vuoi, a disposizione!
Quando vuoi, a disposizione!
Beh oddio, il procedimento vero ed efficace sempre è quello del rapporto incrementale, però in questo caso era evidente che si potevano risparmiare i conti...
@Ciampax: Io questi esercizi ricordo di averli visti svolti in questo modo:
$f(x)={(2-x+\ln x, 01):}$
In genere si scriveva quella che l'esercitatore chiamava "derivata formale" che in questo caso sarebbe:
$f(x)={(-1+1/x, 01):}$
Ovvero escludeva $x=1$ perché è li che si deve imporre la derivabilità... poi a quel punto si procedeva al $lim_(x->1^-) f'(x)$ e poi al $lim_(x->1^+) f'(x)$ e poi si trovavano i parametri..
E' un procedimento formalmente corretto ( i risultati sono uguali)?
@Ciampax: Io questi esercizi ricordo di averli visti svolti in questo modo:
$f(x)={(2-x+\ln x, 0
In genere si scriveva quella che l'esercitatore chiamava "derivata formale" che in questo caso sarebbe:
$f(x)={(-1+1/x, 0
Ovvero escludeva $x=1$ perché è li che si deve imporre la derivabilità... poi a quel punto si procedeva al $lim_(x->1^-) f'(x)$ e poi al $lim_(x->1^+) f'(x)$ e poi si trovavano i parametri..
E' un procedimento formalmente corretto ( i risultati sono uguali)?
Oddio, Obi, io così ad un studente l'avrei ucciso! Chi è l'esercitatore? Dimmelo che vado a menarlo!
Azz, effettivamente io nei libri avevo sempre visto il metodo con i rapporti incrementali, per quello avevo questa curiosità 
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