F(x)

[dennysmathprof]

Se abbiamo la derivata funzione[tex]\displaystyle f:[1,+\infty), f^{3}(x)+x^{2}f(x)-2\int_{1}^{x}tf(t)dt=x-1[/tex]

Dimostrate che :1)[tex]f(1)=0[/tex]

2)La funzione e crescente

3) [tex]:0\leq f(x)\leq \sqrt{\cfrac{x-1}{2}},\forall x\geq1[/tex]

4)La f e concava

5)Cerchiamo il [tex]f([1,+\infty))[/tex]

6)Dimostrare che : [tex]\displaystyle 2-\sqrt{3}>\int_{1}^{\sqrt{3}}f(x)dx[/tex]

[gugo82]

"dennysmathprof":Se abbiamo la derivata funzione[tex]\displaystyle f:[1,+\infty), f^{3}(x)+x^{2}f(x)-2\int_{1}^{x}tf(t)dt=x-1[/tex]

Credo ci sia qualche errore di traduzione... Io ho interpretato la parte iniziale così:

"Abbiamo una funzione derivabile \(f:[1,\infty[\to \mathbb{R}\) tale che:
\[
\tag{A}
f^3(x) + x^2\ f(x) - 2\ \intop_1^x t\ f(t)\ \text{d} t =x-1
\] per \(x\geq 1\)"

è giusto?

In tal caso, ecco la mia soluzione per i punti 1-4.

"dennysmathprof":Dimostrate che :1) [tex]f(1)=0[/tex]

Sostituendo \(x=1\) in (A) si trova \(f^3(1) + f(1) =0\), da cui \(f(1)=0\). \(\square\)

"dennysmathprof":2)La funzione è crescente

Derivando la (A) membro a membro si trova:
\[
\tag{1}
\big( 3\ f^2(x) + x^2\big)\ f^\prime (x) + \cancel{2\ x\ f(x)} - \cancel{2\ x\ f(x)} = 1
\]
per \(x>1\); dato che \(3f^2(x) + x^2 >0\), deve essere necessariamente \(f^\prime (x)>0\) per \(x>1\). Pertanto \(f\) è strettamente crescente in \([1,\infty[\). \(\square\)

"dennysmathprof":3) [tex]0\leq f(x)\leq \sqrt{\cfrac{x-1}{2}},\ \forall x\geq1[/tex]

Per monotonia si ha \(f(x)\geq f(1)=0\) per \(x\geq 1\) (con disuguaglianza stretta per \(x>1\)).

D'altra parte, dalla (1) e dalla disuguaglianza elementare:
\[
2\sqrt{3}\ f(x)\ x\leq 3f^2(x) + x^2
\]
si trae:
\[
f^\prime (x)=\frac{1}{3f^2(x) + x^2}\leq \frac{1}{2\ f(x)}\ \frac{1}{\sqrt{3}\ x}
\]
da cui:
\[
\tag{2}
2\ f(x)\ f^\prime (x) \leq \frac{1}{\sqrt{3}\ x}
\]
per \(x>1\). Integrando la (2) membro a membro sull'intervallo \([1,x]\) e tenendo presente che \(f(1)=0\), si trova:
\[
f^2(x) = \intop_1^x 2\ f(t)\ f^\prime (t)\ \text{d} t \leq \intop_1^ x \frac{\text{d} t}{\sqrt{3}\ t} = \frac{1}{\sqrt{3}}\ \ln x
\]
da cui:
\[
\tag{3}
f(x) \leq \frac{1}{\sqrt[4]{3}}\ \sqrt{\ln x}
\]
per \(x\geq 1\), l'uguaglianza valendo solo per \(x=1\). La disuguaglianza \(f(x)\leq \sqrt{(x-1)/2}\) è molto più debole della (3) ed essa è conseguenza della (3) e della concavità del logaritmo[nota]Infatti, poiché \(\ln x\) è concava, risulta \(\ln x \leq x-1\) e da ciò segue che \(\sqrt{\ln x} /\sqrt[4]{3}\leq \sqrt{x-1} /\sqrt[4]{3} \leq \sqrt{(x-1)/2}\) per \(x\geq 1\).[/nota]. \(\square\)

"dennysmathprof":4)La f è concava

Dalla (1) segue:
\[
f^\prime (x) = \frac{1}{3\ f^2(x) + x^2}
\]
in \(]1,\infty[\); dato che il denominatore è strettamente crescente e positivo, la \(f^\prime\) è strettamente decrescente in \(]1,\infty[\). Perciò \(f\) è strettamente concava in \([1,\infty[\). \(\square\)

Sulle ultime due domande sto ancora lavorando... In particolare, sono riuscito a mostrare che \(\sup f\leq 1\).

"dennysmathprof":5)Cerchiamo il [tex]f([1,+\infty))[/tex]

Poiché \(f\) è strettamente crescente in \([1,\infty[\), essa è invertibile; posto \(g:=f^{-1}\), la \(g\) è derivabile all'interno di \(\operatorname{Dom} g:= f([1,\infty[)=[0,\sup f[\) e risulta:
\[
\tag{4}
g^\prime (y) = \frac{1}{f^\prime \big( g(y)\big)} = \frac{1}{\frac{1}{3\ f^2(g(y)) + g^2(y)}} = 3\ y^2 + g^2(y)
\]
per \(04) segue:
\[
g^\prime (y) \geq g^2(y)
\]
e, poiché \(g(y)\geq 1>0\) per \(y\in \operatorname{Dom} g\) (per monotonia), si ha:
\[
\tag{5}
\frac{g^\prime (y)}{g^2(y)}\geq 1\; .
\]
Integrando la (5) sull'intervallo \([0,y]\) si trova:
\[
1-\frac{1}{g(y)} = \intop_0^y \frac{g^\prime (t)}{g^2(t)}\ \text{d} t \geq \intop_0^y\ \text{d} t = y
\]
da cui segue:
\[
\frac{1}{g(y)} \leq 1-y
\]
ossia:
\[
\tag{6}
g(y) \geq \frac{1}{1-y}\; .
\]
Dalla (6) segue che \(g\) "esplode" in tempo finito, dunque l'estremo superiore del dominio di \(g\) è necessariamente finito e non supera il valore \(1\), cioé \(\sup f\leq 1\).

ma non sono riuscito a calcolare \(\sup f\) esplicitamente.

[dennysmathprof]

Grazie Gugo molto bella la soluzione

Si e vero che e un sbaglio della lingua.
Ti ringrazio della soluzione buon continuo

Diinisio