F(x)

dennysmathprof
Se abbiamo la derivata funzione[tex]\displaystyle f:[1,+\infty), f^{3}(x)+x^{2}f(x)-2\int_{1}^{x}tf(t)dt=x-1[/tex]

Dimostrate che :1)[tex]f(1)=0[/tex]

2)La funzione e crescente

3) [tex]:0\leq f(x)\leq \sqrt{\cfrac{x-1}{2}},\forall x\geq1[/tex]

4)La f e concava

5)Cerchiamo il [tex]f([1,+\infty))[/tex]

6)Dimostrare che : [tex]\displaystyle 2-\sqrt{3}>\int_{1}^{\sqrt{3}}f(x)dx[/tex]

Risposte
gugo82
"dennysmathprof":
Se abbiamo la derivata funzione[tex]\displaystyle f:[1,+\infty), f^{3}(x)+x^{2}f(x)-2\int_{1}^{x}tf(t)dt=x-1[/tex]

Credo ci sia qualche errore di traduzione... Io ho interpretato la parte iniziale così:

"Abbiamo una funzione derivabile \(f:[1,\infty[\to \mathbb{R}\) tale che:
\[
\tag{A}
f^3(x) + x^2\ f(x) - 2\ \intop_1^x t\ f(t)\ \text{d} t =x-1
\] per \(x\geq 1\)"

è giusto?

In tal caso, ecco la mia soluzione per i punti 1-4.
"dennysmathprof":
Dimostrate che :1) [tex]f(1)=0[/tex]



"dennysmathprof":
2)La funzione è crescente



"dennysmathprof":
3) [tex]0\leq f(x)\leq \sqrt{\cfrac{x-1}{2}},\ \forall x\geq1[/tex]



"dennysmathprof":
4)La f è concava



Sulle ultime due domande sto ancora lavorando... In particolare, sono riuscito a mostrare che \(\sup f\leq 1\).
"dennysmathprof":
5)Cerchiamo il [tex]f([1,+\infty))[/tex]


ma non sono riuscito a calcolare \(\sup f\) esplicitamente.

dennysmathprof
Grazie Gugo molto bella la soluzione

Si e vero che e un sbaglio della lingua.
Ti ringrazio della soluzione buon continuo

Diinisio

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