F(x)

[dennysmathprof]

se per la funzione f abbiamo [tex]f(x)+1=(x+e^x)f{'}(x)+ln(x+e^x), x\geq 0, f(0)=0[/tex]
qualle e la f e le asimptoti
2) [tex]\displaystyle{\int_{0}^{1}{f(x)dx} \leq ln(1+\frac{1}{e})}[/tex]

3)[tex]\displaystyle{\int_{0}^{3}{f^2(x)dx} \geq 0,59 \,\,con \,\,ln7=1,945}[/tex]

4)[tex]\displaystyle{\int_{2}^{5}{f^{-1}(x)dx}}=?[/tex]

[dennysmathprof]

buongiorno e buon anno

Non so le regole se posso dare un idea per aiutare oppure devo lasciare cosi .

dionisio

[Zero87]

"dennysmathprof":buongiorno e buon anno

Non so le regole se posso dare un idea per aiutare oppure devo lasciare cosi

Buon giorno e buon anno, Dionisio.

Fossi io ti direi di suggerire, data anche la mancanza di risposte. Personalmente, dopo mezza giornata m'è venuto un $1/2 log^2(x+e^x)$ che però è sbagliato e ho lasciato perdere...

[dennysmathprof]

se [tex]f(x)+x=g(x),\quad g ,g(0)=0
(1) \Rightarrow

(e^x+x)g'(x)-g(x)=(e^x+x)'-\ln(e^x+x)\iff

g'(x)-\dfrac{1}{e^x+x}g(x)=(\ln(e^x+x))'-\dfrac{\ln(e^x+x)}{e^x+x}\iff

e^{-\displaystyle \int_0^x \dfrac{1}{e^t+t}dt}\Big(g'(x)-\dfrac{1}{e^x+x}g(x)\Big)=e^{-\displaystyle \int_0^x \dfrac{1}{e^t+t}dt}\Big((\ln(e^x+x))'-\dfrac{\ln(e^x+x)}{e^x+x}\Big)\iff

\Big(e^{-\displaystyle \int_0^x \dfrac{1}{e^t+t}dt}g(x)\Big)'=\Big(e^{-\displaystyle \int_0^x \dfrac{1}{e^t+t}dt}\ln(e^x+x)\Big)'[/tex]

[tex]e^{-\displaystyle \int_0^x \dfrac{1}{e^t+t}dt}g(x)=e^{-\displaystyle \int_0^x \dfrac{1}{e^t+t}dt}\ln(e^x+x)+c[/tex]

per [tex]x=0, \Rightarrow c=0[/tex]

cioe' [tex]g(x)=\ln(e^x+x)\Longrightarrow f(x)=\ln(e^x+x)-x,\quad x\geq 0[/tex]