$f(x)= (1-cosx)*cos(1/x)$

[GDLAN1983]

per $x !=0 $

e:

$f(x)=0$ per $ x=0$

devo mostrare che è derivabile in $x=0$ .

(scusatemi ma non riesco a scrivere diverso nel linguaggio apposito)...magari me lo direte....

Vado a fare il limite del Rapporto incrementale nel punto $0$

Pertanto :

$ f'(0) = $ $ lim_(h->0) ( f(0+h) -f(0))/h =$

$= lim_(h->0) [(1-cos(0+h))*cos(1/(0+h))-0]/h =$

$= lim_(h->0) [(1-cosh)*cos(1/h)]/h = $

$= lim_ (h->0) (1-cosh)/h * lim_(h->0) cos(1/h) = $

$= 1* lim_(h->0) cos(1/h) = $

e ora?

[gugo82]

"ANTONELLI ":[...] $= lim_(h->0) [(1-cosh)*cos(1/h)]/h = $

$= lim_ (h->0) (1-cosh)/h * lim_(h->0) (cos(1/h))/h = $

$= 1* lim_(h->0) (cos(1/h))/h $

Un po' di attenzione nei conti, almeno...

In questi due passaggi ci sono due errori gravissimi; correggili, poi ne parliamo.


P.S.: Il simbolo di "diverso" lo trovi, insieme agli altri simboli relazionali, qui.

[GDLAN1983]

Un errore grave l'ho visto e l'ho corretto direttamente nel post, l'altro non lo vedrei a meno che non si tratti di aver spezzato il limite in due limiti del prodotto.

Grazie Gugo82

[fireball1]

Quanto fa $\lim_{\alpha \to 0} \frac{1-\cos \alpha}{\alpha}$ ? Dovresti saperlo...

[GDLAN1983]

Direi che fa $ 1$ . Ma mi sembrava di averlo già fatto.

Io so che :

$ lim_(x->0) (1-cosx)/x = 1$

[fireball1]

... Invece di dire "io so che" come se fosse un dogma, calcolalo e verifica quanto fa.
Se moltiplichi numeratore e denominatore per $1+cosx$ cosa viene? ...

[fireball1]

Cioè... Ti sembra che $1-cosx$ vada a 0 come $x$, quando $x->0$ ?
Disegna $1-cosx$ e vedi come si comporta intorno a 0... Un calcolo semplice come
questo non può andare contro l'intuito.

[GDLAN1983]

Allora:

$lim_(h->0) (1-cosh)/h * lim_(h->0) cos(1/x) =$

$ lim_(h->0) ((1-cosh)(1+cosh))/(h*(1+cosh)) )* lim _(x->0) cos(1/h) = $

$lim_(h->0) (1-cos^2(h))/(h*(1+cosh))* lim_(h->0) cos(1/h) = $

$= lim_(h->0) (sen^2(h))/h*(1+cosh)* lim_(h->0) cos(1/h) = $

$= lim_(h->0) (senh)(1+cosh) *lim_(h->0) cos(1/h) = $

perciò il primo limite va a $0$ ed il secondo?

[fireball1]

Il teorema sul limite del prodotto uguale al prodotto dei limiti presuppone certe ipotesi, tra le quali il fatto OVVIO
che entrambi (in questo caso i fattori sono 2) i limiti esistano; il secondo limite non esiste, quindi non lo puoi usare.
Puoi però usare il teorema del confronto, visto che $cos(1/h)$ è limitata ed è moltiplicata per qualcosa che va a 0.

[GDLAN1983]

Pertanto il prodotto di un numero limitato (che puo' oscillare solo tra $-1$ e $1$ ) e $0$ da come risultato $0$.

Ed allora le conclusioni per la derivabilità?

[gugo82]

"ANTONELLI ":Io so che :

$ lim_(x->0) (1-cosx)/x = 1$

Assolutamente no.

Tu "sai" (ma sarebbe meglio usare il condizionale, "dovresti sapere") che $lim_(x\to 0)(1-cosx)/x^2=1/2$... mentre $lim_(x\to 0)(1-cosx)/x$ quanto fa?
Il consiglio di fireball per il calcolo di questo limite era buonissimo, però l'hai buttato a mare facendo l'ennesimo errore di calcolo in questo thread.
Un po' di attenzione in più non guasterebbe; prima di postare sei pregato di controllare i calcoli.

[GDLAN1983]

Allora mi avete mandato nel pallone ora cerco di ragionare:

$ lim_(x->0) (1-cosx)/(x^2) = $

$ lim_(x->0) (1-cosx)(1+cosx)/(1+cosx)*(x^2) =$
$ lim_(x->0) (sen^2(x))/((1+cosx)*(x^2)) =$
$ lim_(x->0) (1*1)/((1+cosx)) =$


$ lim_(x->0) (1*1)/(1+1) = 1/2 $

analogamente:

$ lim_(x->0) (1-cosx)/x = $ abbrevio:

$ lim_(x->0) (sen x)/(1+cosx) $

$ 0/2 = 0$

[gugo82]

Ecco, appunto.
Quindi il limite $lim_(h\to 0) (1-cosh)/h*cos(1/h)$ ha un fattore infinitesimo e l'altro limitato (vero?) e perciò esso è uguale a...

[GDLAN1983]

risultato $ = 0$

[GDLAN1983]

e per la derivabilita' (il quesito iniziale?)

[fireball1]

"ANTONELLI ":per $x !=0 $

e:

$f(x)=0$ per $ x=0$

devo mostrare che è derivabile in $x=0$ .

E non l'hai mostrato? Se è derivabile in 0 deve esistere $f'(0)$, e cioè, il limite che abbiamo risolto in questo thread...

[GDLAN1983]

Bene grazie Fireball.

Roby