Fuunzioni implicite
ciao a tutti,
potete spiegarmi cosa sono e come si costruiscono le funzioni implicite per funzioni di 2 variabili?
non riesco a risolvere il seguente esercizio, non so proprio che pesci prendere
Sia $f:R^3 -> R$ un campo scalare di classe uno in $R^3$, si considera il campo vettoriale $F:R^2 -> R^2$ definito come di seguito:
$F(x,y) = (F_1(x,y),F_2(x,y)) = (f(x^3y, x+y, y), xy^2+y)$ per ogni $(x,y)$ in $R^2$.
1) Ottenere $JF(x,y)$ per ogni $(x,y)$ in $R^2$.
2) Sapendo che $f(0,1,1)=0$ e $gradf(0,1,1) = (1,2,3)$ dimostrare che l'equazione $F_1(x,y)=0$ definisce $y$ come una funzione implicita di $x$, $y=u(x)$ in un intorno di $(0,1)$ e ottenere $u'(0)$
Sono proprio in alto mare!
potete spiegarmi cosa sono e come si costruiscono le funzioni implicite per funzioni di 2 variabili?
non riesco a risolvere il seguente esercizio, non so proprio che pesci prendere
Sia $f:R^3 -> R$ un campo scalare di classe uno in $R^3$, si considera il campo vettoriale $F:R^2 -> R^2$ definito come di seguito:
$F(x,y) = (F_1(x,y),F_2(x,y)) = (f(x^3y, x+y, y), xy^2+y)$ per ogni $(x,y)$ in $R^2$.
1) Ottenere $JF(x,y)$ per ogni $(x,y)$ in $R^2$.
2) Sapendo che $f(0,1,1)=0$ e $gradf(0,1,1) = (1,2,3)$ dimostrare che l'equazione $F_1(x,y)=0$ definisce $y$ come una funzione implicita di $x$, $y=u(x)$ in un intorno di $(0,1)$ e ottenere $u'(0)$
Sono proprio in alto mare!
Risposte
Ciao Jollysa87,
il regolamento prevede che tu provi, anche se vai a tentoni, di indicare più specificatamente le tue difficoltà.
Comunque sia non essendo un moderatore prendilo come un consiglio.
Per quanto riguarda il punto 1, ci sono da fare solo le derivate e questo lo dovresti saper fare senza problemi,
le ipotesi che hai messo ti garantiscono che tu le possa calcolare.
Per il punto 2, basta conoscere il "Teorema del Dini" (versione unidimensionale), infine ti si chiede solo di trovare la funzione implicita rispetto alla prima componente del campo $F$, cioè $F_1$.
Se leggi con attenzione il teorema, di cui sopra, vedi che le ipotesi iniziali unite alle condizioni, da te riportate,
$f(0,1,1)=0$ e $f(0,1,1)=(1,2,3)$, ti garantiscono l'applicabilità dello stesso; poi con un piccolo sforzo dovresti
calcolarti la derivata della funzione implicita (che trovi su un qualsiasi libro) e calcolarla nel punto in questione.
Magari non era proprio questa la risposta che cercavi ma in matematica se non si fatica un po' difficilmente si imparano a
fare gli esercizi.
Puoi guardare anche questo link: http://www2.dm.unito.it/paginepersonali ... 9/dini.pdf
a occhio sembra ben fatto.
il regolamento prevede che tu provi, anche se vai a tentoni, di indicare più specificatamente le tue difficoltà.
Comunque sia non essendo un moderatore prendilo come un consiglio.
Per quanto riguarda il punto 1, ci sono da fare solo le derivate e questo lo dovresti saper fare senza problemi,
le ipotesi che hai messo ti garantiscono che tu le possa calcolare.
Per il punto 2, basta conoscere il "Teorema del Dini" (versione unidimensionale), infine ti si chiede solo di trovare la funzione implicita rispetto alla prima componente del campo $F$, cioè $F_1$.
Se leggi con attenzione il teorema, di cui sopra, vedi che le ipotesi iniziali unite alle condizioni, da te riportate,
$f(0,1,1)=0$ e $f(0,1,1)=(1,2,3)$, ti garantiscono l'applicabilità dello stesso; poi con un piccolo sforzo dovresti
calcolarti la derivata della funzione implicita (che trovi su un qualsiasi libro) e calcolarla nel punto in questione.
Magari non era proprio questa la risposta che cercavi ma in matematica se non si fatica un po' difficilmente si imparano a
fare gli esercizi.
Puoi guardare anche questo link: http://www2.dm.unito.it/paginepersonali ... 9/dini.pdf
a occhio sembra ben fatto.
Grazie mille mi hai messo sulla giusta strada! Thanks!
Sono riuscito a svolgere il punto 2, vorrei sapere se ho fatto bene oppure no!
Posso sfruttare il teorema del Dini perchè sono verificate le 2 seguenti condizioni:
1) Siccome $f(0,1,1)=0$ di conseguenza $\{(x^3y=0),(x+y = 1),(y = 1):}$ e quindi $\{(x=0),(y = 1):}$ perciò $F_1(0,1)=0$ in accordo con l'equazione $F_1(x,y)=0$
2) Devo verificare che $(delF_1(0,1))/(dely)!=0$ perciò costruisco la seguente equazione di matrici, sfruttando $gradf(0,1,1)=(1,2,3)$:
$gradF_1(0,1) = gradf(0,1,1)*JA(0,1)$ con $A:R^2 -> R^3$ tale che $A(x,y)=(x^3y,x+y,y)$ perciò ottengo:
$((delF_1(0,1))/(delx),(delF_1(0,1))/(dely)) = ((1,2,3))*((0,0),(1,0),(0,1))$ Da cui ricavo:
$(delF_1(0,1))/(delx)=2$ e $(delF_1(0,1))/(dely)=3!=0$ Perciò per il teorema del Dini si può affermare che l'equazione $F_1(x,y)=0$ definisce $y$ come una funzione implicita di $x$, $y=\varphi(x)$ in un intorno $(0,1)$.
Per quanto riguarda il calcolo di $\varphi'(0)$ sfrutta la formula del corollario del teorema del Dini e perciò mi viene:
$\varphi'(0) = - [(delF_1(0,1))/(delx)]/[(delF_1(0,1))/(dely)]=-2/3$
E questo è quanto... Poi non riesco a capire il punto primo, cioè come trovare $JF(x,y)$ per ogni $(x,y)$ in $R^2$
forse sono solo molto stanco!
Posso sfruttare il teorema del Dini perchè sono verificate le 2 seguenti condizioni:
1) Siccome $f(0,1,1)=0$ di conseguenza $\{(x^3y=0),(x+y = 1),(y = 1):}$ e quindi $\{(x=0),(y = 1):}$ perciò $F_1(0,1)=0$ in accordo con l'equazione $F_1(x,y)=0$
2) Devo verificare che $(delF_1(0,1))/(dely)!=0$ perciò costruisco la seguente equazione di matrici, sfruttando $gradf(0,1,1)=(1,2,3)$:
$gradF_1(0,1) = gradf(0,1,1)*JA(0,1)$ con $A:R^2 -> R^3$ tale che $A(x,y)=(x^3y,x+y,y)$ perciò ottengo:
$((delF_1(0,1))/(delx),(delF_1(0,1))/(dely)) = ((1,2,3))*((0,0),(1,0),(0,1))$ Da cui ricavo:
$(delF_1(0,1))/(delx)=2$ e $(delF_1(0,1))/(dely)=3!=0$ Perciò per il teorema del Dini si può affermare che l'equazione $F_1(x,y)=0$ definisce $y$ come una funzione implicita di $x$, $y=\varphi(x)$ in un intorno $(0,1)$.
Per quanto riguarda il calcolo di $\varphi'(0)$ sfrutta la formula del corollario del teorema del Dini e perciò mi viene:
$\varphi'(0) = - [(delF_1(0,1))/(delx)]/[(delF_1(0,1))/(dely)]=-2/3$
E questo è quanto... Poi non riesco a capire il punto primo, cioè come trovare $JF(x,y)$ per ogni $(x,y)$ in $R^2$
forse sono solo molto stanco!
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