Fuonzione continua, una domanda
Buon anno a tutti, per intanto.
Mi ritrovo con un dubbio che mi sono creato studiando e che non riesco a capire da solo. In particolare ho notato che una funzione continua manda intervalli in intervalli, e so che un intervallo di numeri reali può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'intero R (ce nè uno stesso "numero").
Detto questo mi ponevo la seguente questione: data una funzione qualsiasi continua (es $x^2$) e presa la sua immagine, con una parte di tale immagine o tutta l'immagine si può rappresentare l'intero dominio di f (con dom(f)=R)?
Cioè in altre parole non capisco se l'intervallo di partenza si può ritrovare nell'immagine (rappresentandolo in toto nell'immagine stessa)
Il punto è che potrei prendere come dominio l'intera retta reale e avere l'intervallo $(-oo,+oo)$ e so che posso mettere in corrispondenza l'intero intervallo dominio con quello dell'immagine,stessa cardinalità del continuo (in parole semplici e non del tutto corrette potrei dire che hanno lo stesso numero di elementi) tuttavia pur avendo lo stesso numero non è detto che tali numeri abbiano lo stesso valore, ed è questo che mi chiedo: presa la retta reale e una funzione continua che abbia tale asse come dominio, posso rappresentare gli stessi numeri tramite l'immagine della funzione? E sarebbero gli stessi numeri?
Perché mi pare che a una data x io sia sempre sfasato rispetto all'immagine ad esempio per $x^2$ cioè on "raggiungerò" mai gli stessi valori
Non so se sono stato sufficientemente chiaro, nel caso ci riprovo
Mi ritrovo con un dubbio che mi sono creato studiando e che non riesco a capire da solo. In particolare ho notato che una funzione continua manda intervalli in intervalli, e so che un intervallo di numeri reali può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'intero R (ce nè uno stesso "numero").
Detto questo mi ponevo la seguente questione: data una funzione qualsiasi continua (es $x^2$) e presa la sua immagine, con una parte di tale immagine o tutta l'immagine si può rappresentare l'intero dominio di f (con dom(f)=R)?
Cioè in altre parole non capisco se l'intervallo di partenza si può ritrovare nell'immagine (rappresentandolo in toto nell'immagine stessa)
Il punto è che potrei prendere come dominio l'intera retta reale e avere l'intervallo $(-oo,+oo)$ e so che posso mettere in corrispondenza l'intero intervallo dominio con quello dell'immagine,stessa cardinalità del continuo (in parole semplici e non del tutto corrette potrei dire che hanno lo stesso numero di elementi) tuttavia pur avendo lo stesso numero non è detto che tali numeri abbiano lo stesso valore, ed è questo che mi chiedo: presa la retta reale e una funzione continua che abbia tale asse come dominio, posso rappresentare gli stessi numeri tramite l'immagine della funzione? E sarebbero gli stessi numeri?
Perché mi pare che a una data x io sia sempre sfasato rispetto all'immagine ad esempio per $x^2$ cioè on "raggiungerò" mai gli stessi valori
Non so se sono stato sufficientemente chiaro, nel caso ci riprovo
Risposte
Uhm in effetti la risposta credo sia sì, infatti una funzione si dice "a valori reali" f:R->R ergo copre con la sua immagine tutti i reali. Che cosa strana.
Lascio comunque il post, magari (lo dico retoricamnete, poiché sicuramente) saprà dirmi più cose e dare spunti di riflessione.
Lascio comunque il post, magari (lo dico retoricamnete, poiché sicuramente) saprà dirmi più cose e dare spunti di riflessione.
Ci sono una serie di confusioni, io credo.
Dunque:
Che significa 'rappresentare gli stessi numeri'?
Questa nemmeno si capisce, ti sembra che \(\displaystyle f(x)=x^2 \) sia sempre diverso da \(\displaystyle x \)? La risposta è no, basta prendere \(\displaystyle x=0 \) o \(\displaystyle x=1 \).
Assolutamente no. La scrittura \(\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) non vuol dire che $f$ sia suriettiva, ma vuol dire solo che \(\displaystyle f(\mathbb{R})\subset \mathbb{R} \).
Dunque:
presa la retta reale e una funzione continua che abbia tale asse come dominio, posso rappresentare gli stessi numeri tramite l'immagine della funzione?
Che significa 'rappresentare gli stessi numeri'?
Perché mi pare che a una data x io sia sempre sfasato rispetto all'immagine ad esempio per \(\displaystyle x^2 \) cioè on "raggiungerò" mai gli stessi valori
Questa nemmeno si capisce, ti sembra che \(\displaystyle f(x)=x^2 \) sia sempre diverso da \(\displaystyle x \)? La risposta è no, basta prendere \(\displaystyle x=0 \) o \(\displaystyle x=1 \).
"maion":
infatti una funzione si dice "a valori reali" f:R->R ergo copre con la sua immagine tutti i reali
Assolutamente no. La scrittura \(\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) non vuol dire che $f$ sia suriettiva, ma vuol dire solo che \(\displaystyle f(\mathbb{R})\subset \mathbb{R} \).
Ciao.
In base a quanto ho capito del tuo messaggio, tu chiedi se una funzione \( f \) da \( X\subset\mathbb{R} \) nei reali può avere immagine \( f(X)\) uguale a \( \mathbb{R} \).
Considera \( x\mapsto x^3 \), come funzione \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\): l'immagine di essa, ossia gli \( x^3 \) tali che \( x \) si un numero reale, coincide con tutto \( \mathbb{R} \); lo stesso non accade con \( x\mapsto x^2 \), perché i quadrati sono necessariamente non negativi (è ovviamente \( \mathbb{R}_{>0} \)).
Però, in generale, data una funzione \( X\to Y \), non è detto che essa sia suriettiva, ossia che la sua immagine coincida con il codominio (ché sono generalmente cose diverse, come ti fa notare a ragione l'utente @Ianero).
Per il discorso sulle cardinalità, considera una funzione[nota]Non necessariamente \( X \) e \( Y \) \( \subset\mathbb{R} \)[/nota] \( f \) da un insieme \( X \) in un insieme \( Y \) non necessariamente suriettiva: l'esistenza di una biiezione \( f(X)\to\operatorname{Dom}f \) non implica generalmente la suriettività di \( f \), e per rendertene conto ti basta considerare \( n\mapsto 2n \) come funzione dai naturali in sé (ossia \( 2\mathbb{N}\cong \mathbb{N} \) ma \( 2\mathbb{N}\subset\mathbb{N} \) in senso stretto). Analoghe per una funzione \( X\subset\mathbb{R} \) in \( \mathbb{R} \): se consideri \( p_2\colon x\mapsto x^2 \) ristretta a \( \mathbb{R}_{>0} \) come funzione in \( \mathbb{R} \), la sua immagine \( p_2\left(\mathbb{R}\right) \) è l'insieme dei reali positivi, ma \( \mathbb{R}_{>0}\cong\mathbb{R} \) (ad esempio con l'esponenziale), ed è pure continua.
In base a quanto ho capito del tuo messaggio, tu chiedi se una funzione \( f \) da \( X\subset\mathbb{R} \) nei reali può avere immagine \( f(X)\) uguale a \( \mathbb{R} \).
Considera \( x\mapsto x^3 \), come funzione \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\): l'immagine di essa, ossia gli \( x^3 \) tali che \( x \) si un numero reale, coincide con tutto \( \mathbb{R} \); lo stesso non accade con \( x\mapsto x^2 \), perché i quadrati sono necessariamente non negativi (è ovviamente \( \mathbb{R}_{>0} \)).
Però, in generale, data una funzione \( X\to Y \), non è detto che essa sia suriettiva, ossia che la sua immagine coincida con il codominio (ché sono generalmente cose diverse, come ti fa notare a ragione l'utente @Ianero).
Per il discorso sulle cardinalità, considera una funzione[nota]Non necessariamente \( X \) e \( Y \) \( \subset\mathbb{R} \)[/nota] \( f \) da un insieme \( X \) in un insieme \( Y \) non necessariamente suriettiva: l'esistenza di una biiezione \( f(X)\to\operatorname{Dom}f \) non implica generalmente la suriettività di \( f \), e per rendertene conto ti basta considerare \( n\mapsto 2n \) come funzione dai naturali in sé (ossia \( 2\mathbb{N}\cong \mathbb{N} \) ma \( 2\mathbb{N}\subset\mathbb{N} \) in senso stretto). Analoghe per una funzione \( X\subset\mathbb{R} \) in \( \mathbb{R} \): se consideri \( p_2\colon x\mapsto x^2 \) ristretta a \( \mathbb{R}_{>0} \) come funzione in \( \mathbb{R} \), la sua immagine \( p_2\left(\mathbb{R}\right) \) è l'insieme dei reali positivi, ma \( \mathbb{R}_{>0}\cong\mathbb{R} \) (ad esempio con l'esponenziale), ed è pure continua.
Mi rendo conto di aver spiegato male e in un punto di essermi anche confuso. Vi ringrazio per il vostro aiuto.
Replico per i punti dubbi, peril resto mi torna quel che dite.
Quello che in realtà volevo dire è che:
1) L'ultimo punto della risposta di @marco ha azzeccato il mio dubbio. Come diamine è possibile che una funzione non suriettiva (con codominio in R) essendo l'immagine nei reali e per il discorso che un intervalllo dei reali può essere messo in corrispondenza biunivoca con tutto l'insieme dei reali (dunque ho una collegamento uno a uno per elementi dell' immagine e del dominio) però nonostante dimostri questo collegamento la funzione stessa non è biiettiva.
Io immagino delle frecce che partono dal dominio e arrivano a un sottoinsieme del codominio: la mia immagine. Poi avrò altrettante frecce che partono dall'immagine e coprono tutto il dominio (cardinalità del continuo) mi sembra una contraddizione.
2) Dubbio simile che ha dedotto ancora marco: in sostanza quel che non mi torna è il fatto seguente..
pensiamo alla funzione $x^3$, essa ha perimmagine tutti i reali, dunque il domionio è l'intervallo (-inf,+inf) identicamente l'insieme immagine: (-inf,+inf) tuttavia seio volglio un certo valore di y dovrò prendere la radice cubica di tale y, per questo dicevo "quasi sempre sfasato" è come se mi venisse da intuire che la sua immagine (di tale funzione) debba avere dei buchi in quanto c'èbisogno di un numero x piùpiccolo per ogni y.
Non riesco a figurarmi queste due cose. So che è una domanda stupida, ma vorrei capirla intuitivamente, perché a definizioni concordo con la tua risposta marco, ma non riesco a afferrarlo appieno.
Replico per i punti dubbi, peril resto mi torna quel che dite.
Quello che in realtà volevo dire è che:
1) L'ultimo punto della risposta di @marco ha azzeccato il mio dubbio. Come diamine è possibile che una funzione non suriettiva (con codominio in R) essendo l'immagine nei reali e per il discorso che un intervalllo dei reali può essere messo in corrispondenza biunivoca con tutto l'insieme dei reali (dunque ho una collegamento uno a uno per elementi dell' immagine e del dominio) però nonostante dimostri questo collegamento la funzione stessa non è biiettiva.
Io immagino delle frecce che partono dal dominio e arrivano a un sottoinsieme del codominio: la mia immagine. Poi avrò altrettante frecce che partono dall'immagine e coprono tutto il dominio (cardinalità del continuo) mi sembra una contraddizione.
2) Dubbio simile che ha dedotto ancora marco: in sostanza quel che non mi torna è il fatto seguente..
pensiamo alla funzione $x^3$, essa ha perimmagine tutti i reali, dunque il domionio è l'intervallo (-inf,+inf) identicamente l'insieme immagine: (-inf,+inf) tuttavia seio volglio un certo valore di y dovrò prendere la radice cubica di tale y, per questo dicevo "quasi sempre sfasato" è come se mi venisse da intuire che la sua immagine (di tale funzione) debba avere dei buchi in quanto c'èbisogno di un numero x piùpiccolo per ogni y.
Non riesco a figurarmi queste due cose. So che è una domanda stupida, ma vorrei capirla intuitivamente, perché a definizioni concordo con la tua risposta marco, ma non riesco a afferrarlo appieno.
Posso chiederti di rileggere quello che scrivi, prima di postare? Trovo interessanti e lecite le tue domande, ma non la forma in cui le esprimi.
1) Puoi definire gli insiemi infiniti come gli insiemi equipollenti ad una loro parte propria: la presenza di un'applicazione biiettiva dall'immagine \( p_2\left(\mathbb{R}\right)\subset\mathbb{R}\) della potenza \( p_2 \) ristretta ai reali positivi (cioè \( p_2\left(\mathbb{R}\right) \) è \( \mathbb{R}_{>0} \)), a \( \mathbb{R} \) non implica che l'immagine della potenza sia \( \mathbb{R} \). Ossia \( \mathbb{R}_{>0} \) e \( \mathbb{R} \) hanno lo stesso numero di elementi, anche se \( \mathbb{R}_{>0}\subset\mathbb{R} \) in senso stretto. Vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_infinito.
2) Credo che tu sia uso identificare una funzione biiettiva con l'identità \( \operatorname{id}_X \) di un insieme \( X \), ossia quella funzione \( X\to X \) che \( x\mapsto x \). In generale, esistono molte altre funzioni biiettive, anche di un insieme in sé: si chiamano permutazioni, e hanno un ruolo importante in matematica (ad esempi nella def. di determinante). Forse però questo non risponde al tuo dubbio, che questa volta ho frainteso.
1) Puoi definire gli insiemi infiniti come gli insiemi equipollenti ad una loro parte propria: la presenza di un'applicazione biiettiva dall'immagine \( p_2\left(\mathbb{R}\right)\subset\mathbb{R}\) della potenza \( p_2 \) ristretta ai reali positivi (cioè \( p_2\left(\mathbb{R}\right) \) è \( \mathbb{R}_{>0} \)), a \( \mathbb{R} \) non implica che l'immagine della potenza sia \( \mathbb{R} \). Ossia \( \mathbb{R}_{>0} \) e \( \mathbb{R} \) hanno lo stesso numero di elementi, anche se \( \mathbb{R}_{>0}\subset\mathbb{R} \) in senso stretto. Vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_infinito.
2) Credo che tu sia uso identificare una funzione biiettiva con l'identità \( \operatorname{id}_X \) di un insieme \( X \), ossia quella funzione \( X\to X \) che \( x\mapsto x \). In generale, esistono molte altre funzioni biiettive, anche di un insieme in sé: si chiamano permutazioni, e hanno un ruolo importante in matematica (ad esempi nella def. di determinante). Forse però questo non risponde al tuo dubbio, che questa volta ho frainteso.
[EDIT: 18.47]
Prima di tutto, grazie ancora.
Ti chiedo scusa e farò il massimo per risultare più chiaro.
Il dubbio 1) mi pare chiarito
Prima di procedere vorrei porti due domande che mi sono sorte discutendone con te e che sarebbero utili per capire il punto 2:
- siccome la potenza del continuo vuol dire poter porre in corrispondenza biunivoca un insieme $X$ con gli elementi dell'insieme dei reali; se prendessi l'intervallo sulle ascisse [0,2], e assumessi come funzione $y=x^3$, allora potrei dire che vi è corrispondenza biunivoca tra gli intervalli [0,2] del dominio e [0,8] dell'immagine, infatti la funzione è biiettiva!
Ora se verifico che il sottoinsieme [0,2] ha la potenza del continuo posso dire che a sua volta anche [0,8] ha tale potenza del continuo in forza del fatto che x^3 è biiettiva sul dominio dato?
In questo caso mi rendo conto sia stupido farlo, basta vedere che [0,8] ha la potenza del continuo direttamente, ma vorrei capire se come ragionamento è corretto.
- Inoltre se un intervallo ha la potenza del continuo (metto in corrispondenza ad R) e un secondo intervallo ha anch'esso potenza del continuo, vale la transitività? Ovvero posso dire che $I_1$ ha stessa cardinalità di $I_2$? come accade per i finiti?
2) Il secondo dubbio invece non riguarda propriamente quello che dicevi tu, provo a rispiegarmi. Anche qui quello che mi fa storcere il naso è il fatto che per valori x>1 mi renda conto che sulle y avrò un valore maggiore del valore imposto nella x: $y=x^3$, quindi mi pare che in un certo senso sia come se l'immagine fosse di un "ordine" superiore di infinito.
Dimostrare che il dominio (tutto R) in cui vivono le x abbia stessa cardinalità dell'insieme immagine vorrebbe dire metterle in corrispondenza biunivoca, forse facendo come dicevo qui sopra funzionerebbe.
Prima di tutto, grazie ancora.
"marco2132k":
Posso chiederti di rileggere quello che scrivi, prima di postare? Trovo interessanti e lecite le tue domande, ma non la forma in cui le esprimi.
Ti chiedo scusa e farò il massimo per risultare più chiaro.
Il dubbio 1) mi pare chiarito
Prima di procedere vorrei porti due domande che mi sono sorte discutendone con te e che sarebbero utili per capire il punto 2:
- siccome la potenza del continuo vuol dire poter porre in corrispondenza biunivoca un insieme $X$ con gli elementi dell'insieme dei reali; se prendessi l'intervallo sulle ascisse [0,2], e assumessi come funzione $y=x^3$, allora potrei dire che vi è corrispondenza biunivoca tra gli intervalli [0,2] del dominio e [0,8] dell'immagine, infatti la funzione è biiettiva!
Ora se verifico che il sottoinsieme [0,2] ha la potenza del continuo posso dire che a sua volta anche [0,8] ha tale potenza del continuo in forza del fatto che x^3 è biiettiva sul dominio dato?
In questo caso mi rendo conto sia stupido farlo, basta vedere che [0,8] ha la potenza del continuo direttamente, ma vorrei capire se come ragionamento è corretto.
- Inoltre se un intervallo ha la potenza del continuo (metto in corrispondenza ad R) e un secondo intervallo ha anch'esso potenza del continuo, vale la transitività? Ovvero posso dire che $I_1$ ha stessa cardinalità di $I_2$? come accade per i finiti?
2) Il secondo dubbio invece non riguarda propriamente quello che dicevi tu, provo a rispiegarmi. Anche qui quello che mi fa storcere il naso è il fatto che per valori x>1 mi renda conto che sulle y avrò un valore maggiore del valore imposto nella x: $y=x^3$, quindi mi pare che in un certo senso sia come se l'immagine fosse di un "ordine" superiore di infinito.
Dimostrare che il dominio (tutto R) in cui vivono le x abbia stessa cardinalità dell'insieme immagine vorrebbe dire metterle in corrispondenza biunivoca, forse facendo come dicevo qui sopra funzionerebbe.
Considera tre insiemi qualsiasi \( X \), \( Y \) e \( Z \), e due funzioni \( X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z \), entrambe biiettive. Dimostra che anche \( X\xrightarrow{{g}\circ {f}}Z \) è biiettiva.
Per 2) La cardinalità "conta" il numero di elementi di un insieme, non "quanto grandi" questi sono (contare significa creare una corrispondenza biunivoca tra un insieme di cose (indici) - le dita di una mano - e un insieme di altre cose). Mi rendo conto che l'intuizione si scontra un po' con queste cose, ma non sono cose contro-intuitive.
Nel caso di \( x\mapsto x^3 \), tu dici che per \( x \) maggiore di \( 1 \) la funzione dà valori sempre "molto più grandi" (e a pensarci bene capisco ora il fatto dei "buchi"): la domanda non è per nulla stupida, e porta al concetto di insieme denso.
"maion":Non lo è. Infatti la relazione di equipollenza (o isomorfismo di insiemi) è una relazione di equivalenza: prova a vedere se dico la verità.
sia stupido farlo
Per 2) La cardinalità "conta" il numero di elementi di un insieme, non "quanto grandi" questi sono (contare significa creare una corrispondenza biunivoca tra un insieme di cose (indici) - le dita di una mano - e un insieme di altre cose). Mi rendo conto che l'intuizione si scontra un po' con queste cose, ma non sono cose contro-intuitive.
Nel caso di \( x\mapsto x^3 \), tu dici che per \( x \) maggiore di \( 1 \) la funzione dà valori sempre "molto più grandi" (e a pensarci bene capisco ora il fatto dei "buchi"): la domanda non è per nulla stupida, e porta al concetto di insieme denso.
Forse quanto scritto sopra nello spoiler meriterebbe qualche critica, ché probabilmente non è poi così rigoroso e attinente alla domanda. Mi credo che comunque renda bene l'idea geometrica di fondo.
Ho aspettato un po' a rispondere perché volevo approfondire oltre leggendo e poi tornando qui per digerire meglio le spiegazioni.
Direi che mi pare di esserci, dato che mi confermi essere una relazione di equivalenza sicuramente è riflessiva simmetica e transitiva, e quella sottolineata è proprio quello che mi interessava capire.
non so perché macome scrivevo:
Parlando di "infinito" temevo di dire fesserie affermado ciò, e invece è corretto.
Tornando invece al punto 2:
Ho letto la tua bella spiegazione intuitiva e approfondito il concetto di densità di un insieme in un altro, tuttavia mi accorgo che se l'immagine èdensa in R questo non voglia dire che abbia la tessa cardinalità (sbaglio? L'ho intuito prima di leggere tutto lo spoiler ma mi sembra che confermi)
Detto questo per provare che l'immagine ha la stessa cardinalità dei reali posso usare, tornando a x^3e a quanto scrivevo
la transitività di cui sopra e il fatto che l'immagine è legata da corrispondenza biunivoca al dominio (nell'esempio tutto R)
Uscendo un attimo dal discorso, mi piacerebbe chiederti consiglio.
Ci sono così tante definizaioni che mi sembra sempre di non riuscire a ricordarle tutte e padroneggiarle, però sono cose che mi incuriosiscono tanto e vorrei dei consigli su come studiarle, su quali testi leggerne, insomma qualunque consiglio è ben'accetto
Ti ringrazio molto e auguro buona serata!
Considera tre insiemi qualsiasi X, Y e Z, e due funzioni X→fY→gZ, entrambe biiettive. Dimostra che anche X−→−g∘fZ è biiettiva.
Direi che mi pare di esserci, dato che mi confermi essere una relazione di equivalenza sicuramente è riflessiva simmetica e transitiva, e quella sottolineata è proprio quello che mi interessava capire.
non so perché macome scrivevo:
- Inoltre se un intervallo ha la potenza del continuo (metto in corrispondenza ad R) e un secondo intervallo ha anch'esso potenza del continuo, vale la transitività? Ovvero posso dire che I1 ha stessa cardinalità di I2? come accade per i finiti?
Parlando di "infinito" temevo di dire fesserie affermado ciò, e invece è corretto.
Tornando invece al punto 2:
Ho letto la tua bella spiegazione intuitiva e approfondito il concetto di densità di un insieme in un altro, tuttavia mi accorgo che se l'immagine èdensa in R questo non voglia dire che abbia la tessa cardinalità (sbaglio? L'ho intuito prima di leggere tutto lo spoiler ma mi sembra che confermi)
Detto questo per provare che l'immagine ha la stessa cardinalità dei reali posso usare, tornando a x^3e a quanto scrivevo
Il secondo dubbio invece non riguarda propriamente quello che dicevi tu, provo a rispiegarmi. Anche qui quello che mi fa storcere il naso è il fatto che per valori x>1 mi renda conto che sulle y avrò un valore maggiore del valore imposto nella x: y=x^3, quindi mi pare che in un certo senso sia come se l'immagine fosse di un "ordine" superiore di infinito.
Dimostrare che il dominio (tutto R) in cui vivono le x abbia stessa cardinalità dell'insieme immagine vorrebbe dire metterle in corrispondenza biunivoca, forse facendo come dicevo qui sopra funzionerebbe.
la transitività di cui sopra e il fatto che l'immagine è legata da corrispondenza biunivoca al dominio (nell'esempio tutto R)
Uscendo un attimo dal discorso, mi piacerebbe chiederti consiglio.
Ci sono così tante definizaioni che mi sembra sempre di non riuscire a ricordarle tutte e padroneggiarle, però sono cose che mi incuriosiscono tanto e vorrei dei consigli su come studiarle, su quali testi leggerne, insomma qualunque consiglio è ben'accetto
Ti ringrazio molto e auguro buona serata!
Mi sono perso la tua risposta, eccomi.
Vuoi provare che l'immagine di \( x\mapsto x^3 \) ha la stessa cardinalità di \( \mathbb{R} \)? In questo caso è vero perché l'immagine di \( x\mapsto x^3 \) è tutto \( \mathbb{R} \).
Se invece vuoi provare che l'immagine di \( x\mapsto x^p \), con \( p \) numero pari (l'immagine di questa funzione è l'insieme \( \mathbb{R}_{>0} \) dei reali positivi) ha la cardinalità del continuo, se pensi che per una base \( a>0 \) l'esponenziale è una funzione biettiva \( \mathbb{R}\to\mathbb{R}_{>0} \), hai fatto (per la proprietà simmetrica della relazione di equipollenza di insiemi) o, se più ti piace, puoi considerarne l'inversa \( \log_a \).
Se ciò non risponde (nuovamente) alle tue domande chiarisciti pure, che ne discutiamo.
[ot]
"maion":Assolutamente no. L'insieme \( \mathbb{Q} \) dei razionali è denso in \( \mathbb{R} \), ma evidentemente non hanno la stessa cardinalità.
[...] mi accorgo che se l'immagine èdensa in R questo non voglia dire che abbia la tessa cardinalità (sbaglio?
"maion":Scusami, ma non mi è chiaro di quale funzione è l'immagine di cui vuoi provare l'uguaglianza della cardinalità con \( \mathbb{R} \).
Detto questo per provare che l'immagine ha la stessa cardinalità dei reali posso usare, tornando a x^3e a quanto scrivevo
Vuoi provare che l'immagine di \( x\mapsto x^3 \) ha la stessa cardinalità di \( \mathbb{R} \)? In questo caso è vero perché l'immagine di \( x\mapsto x^3 \) è tutto \( \mathbb{R} \).
Se invece vuoi provare che l'immagine di \( x\mapsto x^p \), con \( p \) numero pari (l'immagine di questa funzione è l'insieme \( \mathbb{R}_{>0} \) dei reali positivi) ha la cardinalità del continuo, se pensi che per una base \( a>0 \) l'esponenziale è una funzione biettiva \( \mathbb{R}\to\mathbb{R}_{>0} \), hai fatto (per la proprietà simmetrica della relazione di equipollenza di insiemi) o, se più ti piace, puoi considerarne l'inversa \( \log_a \).
"maion":Figurati c:
Ti ringrazio molto
Se ciò non risponde (nuovamente) alle tue domande chiarisciti pure, che ne discutiamo.
[ot]
"maion":In realtà io sono solamente un inutile studente, però ti posso dire che ci vuole un po' di tempo per farsi un certo feeling sulla questione. Se vuoi dei consigli bibliografici guarda un po' anche su questo forum - magari cercando con google - e troverai sicuramente qualcosa.[/ot]
Uscendo un attimo dal discorso, mi piacerebbe chiederti consiglio.
Ci sono così tante definizaioni che mi sembra sempre di non riuscire a ricordarle tutte e padroneggiarle, però sono cose che mi incuriosiscono tanto e vorrei dei consigli su come studiarle, su quali testi leggerne, insomma qualunque consiglio è ben'accetto
"marco2132k":
Se invece vuoi provare che l'immagine di \( x\mapsto x^p \), con \( p \) numero pari (l'immagine di questa funzione è l'insieme \( \mathbb{R}_{>0} \) dei reali positivi) ha la cardinalità del continuo, se pensi che per una base \( a>0 \) l'esponenziale è una funzione biettiva \( \mathbb{R}\to\mathbb{R}_{>0} \), hai fatto (per la proprietà simmetrica della relazione di equipollenza di insiemi) o, se più ti piace, puoi considerarne l'inversa \( \log_a \).
Esatto chiedevo questo diciamo che volevo la conferma. Mi sento sempre insicuro e un po' tonto
Beh inutile mica tanto, mi hai dato una grande mano a riordinare le idee e te ne sono grato. Spero un giorno di aver tale padronanza di concetti, mi sembra sempre di non riuscire bene a padronegiarli e ci torno infinite volte sopra. Alcune persone mi sembrano capire tutto e le invidio (in modo sano, senza odio
)Mi è capitato di leggere vecchie discussioni su libri consigliati, il forum è un ottimo supporto per poter avere consigli a riguardo.
Buon we!
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