Funzioni uniformemente continue e lipschitziane
Buonasera, non ho ben capito la differenza tra funzione uniformemente continua e funzione lipschitziana.
L'interpretazione di entrambe le definizioni è che la funzione non può impennarsi più di tanto, giusto? Però non è detto che una funzione uniformemente continua sia lipschitziana mentre è sicuramente vero il viceversa
Grazie in anticipo
L'interpretazione di entrambe le definizioni è che la funzione non può impennarsi più di tanto, giusto? Però non è detto che una funzione uniformemente continua sia lipschitziana mentre è sicuramente vero il viceversa
Grazie in anticipo
Risposte
Mah in realtà non è vero che non può impennarsi più di tanto se è uniformemente continua. $sqrt x$ è uniformemente continua eppure in zero si "impenna".
Ok però continua a non essermi chiara la differenza tra uniforme continuità e lipschitzianità...
Una funzione è uniformemente continua se non oscilla più di tanto, si può dire in modo un po' impreciso.
E invece lipschitziana?
Lipschitziana è come dicevi, cioè non si impenna troppo.
Va bene, grazie
Visto che $f$ è di Lipschitz in un intervallo non banale $I$ solo se esiste una costante $L >= 0$ tale che:
$|f(x) - f(x_0)| <= L |x-x_0|$ per ogni $x,x_0 in I$,
per fissato $x_0$ hai:
$f(x_0) - L|x-x_0| <= f(x) <= f(x_0) + L|x-x_0|$ per ogni $x in I$;
ciò significa che il grafico di $f$ è tutto contenuto nella coppia di angoli opposti al vertice $P_0=(x_0,f(x_0))$ delimitati dalle rette di equazione $y=+- L(x-x_0) + f(x_0)$ (passanti per $P_0$ ed aventi coefficienti angolari $+-L$).
Questo rende quantitativo l'espressione qualitativa "il grafico di $f$ non si impenna troppo".
$|f(x) - f(x_0)| <= L |x-x_0|$ per ogni $x,x_0 in I$,
per fissato $x_0$ hai:
$f(x_0) - L|x-x_0| <= f(x) <= f(x_0) + L|x-x_0|$ per ogni $x in I$;
ciò significa che il grafico di $f$ è tutto contenuto nella coppia di angoli opposti al vertice $P_0=(x_0,f(x_0))$ delimitati dalle rette di equazione $y=+- L(x-x_0) + f(x_0)$ (passanti per $P_0$ ed aventi coefficienti angolari $+-L$).
Questo rende quantitativo l'espressione qualitativa "il grafico di $f$ non si impenna troppo".
Graficamente puoi immaginare la differenza in questo modo:
Prendi \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) una funzione \( k \)-lipschitziana, e sia \( \mathcal{G}(f) := \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : f(x)=y \} \) il grafico della funzione. Preso un \( (x,y) \in \mathcal{G}(f) \) arbitrario puoi centrare un doppio cono formato dalle rette di pendenza \(k \) e \(-k \) il cui punto di intersezione è proprio \((x,y) \). E il tuo grafico non entrerà mai nella regione definita dal doppio cono.
Mentre per quanto riguarda la continuità uniforme per ogni altezza \( 2 \epsilon \) puoi trovare una larghezza di \( 2 \delta \) in modo tale che se centri questo rettangolo in un \( (x,y) \in \mathcal{G}(f) \) qualsiasi allora il tuo grafico intersecherà solamente le altezze di \( 2 \epsilon \) e mai le larghezze di \( 2 \delta \).
Nota che la larghezza \( 2 \delta \) dipende solo dall'altezza e non dal centro scelto.
Un immagine sarà più chiara
Prendi \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) una funzione \( k \)-lipschitziana, e sia \( \mathcal{G}(f) := \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : f(x)=y \} \) il grafico della funzione. Preso un \( (x,y) \in \mathcal{G}(f) \) arbitrario puoi centrare un doppio cono formato dalle rette di pendenza \(k \) e \(-k \) il cui punto di intersezione è proprio \((x,y) \). E il tuo grafico non entrerà mai nella regione definita dal doppio cono.
Mentre per quanto riguarda la continuità uniforme per ogni altezza \( 2 \epsilon \) puoi trovare una larghezza di \( 2 \delta \) in modo tale che se centri questo rettangolo in un \( (x,y) \in \mathcal{G}(f) \) qualsiasi allora il tuo grafico intersecherà solamente le altezze di \( 2 \epsilon \) e mai le larghezze di \( 2 \delta \).
Nota che la larghezza \( 2 \delta \) dipende solo dall'altezza e non dal centro scelto.
Un immagine sarà più chiara
Grazie mille a entrambi, ora è molto più chiaro 
Un'ultima domanda: come si fa ad arrivare a questo
Un'ultima domanda: come si fa ad arrivare a questo
"3m0o":a partire dalla definizione?
Mentre per quanto riguarda la continuità uniforme per ogni altezza \( 2 \epsilon \) puoi trovare una larghezza di \( 2 \delta \) in modo tale che se centri questo rettangolo in un \( (x,y) \in \mathcal{G}(f) \) qualsiasi allora il tuo grafico intersecherà solamente le altezze di \( 2 \epsilon \) e mai le larghezze di \( 2 \delta \).
Nota che la larghezza \( 2 \delta \) dipende solo dall'altezza e non dal centro scelto.
Si dalla definizione,
\( \forall \epsilon >0 , \exists \delta >0 \) tale che \( \forall x,y \) tale che \( \left| x-y \right| \leq \delta \) allora \( \left| f(x)- f(y) \right| \leq \epsilon \)
L'interpretazione geometrica è proprio un rettangolo fissato di altezza \( 2 \epsilon \) e di laghezza, che dipende dall'altezza, \( 2 \delta \) e centrato in un punto del grafico qualsiasi soddisfa quanto detto prima, ovvero che
il grafico interseca solo le altezze e lo deduci dal fatto che \( \left| f(x)- f(y) \right| \leq \epsilon \) quando hai \( \left| x-y \right| \leq \delta \). Infatti se il grafico intersecasse una larghezza in un punto (e non l'altezza) avresti trovato un punto \( y \) tale che \( \left| x-y \right| \leq \delta \) ma \( \left| f(x)- f(y) \right| > \epsilon \).
E questo vorrebbe dire che il tuo \( \delta \) lo hai scelto male oppure non è uniformemente continua.
Se hai voglia prova a dare l'interpretazione geometrica della continuità:
\( \forall x, \forall \epsilon >0 , \exists \delta >0 \) tale che \( \forall y \) tale che \( \left| x-y \right| \leq \delta \) allora \( \left| f(x)- f(y) \right| \leq \epsilon \)
\( \forall \epsilon >0 , \exists \delta >0 \) tale che \( \forall x,y \) tale che \( \left| x-y \right| \leq \delta \) allora \( \left| f(x)- f(y) \right| \leq \epsilon \)
L'interpretazione geometrica è proprio un rettangolo fissato di altezza \( 2 \epsilon \) e di laghezza, che dipende dall'altezza, \( 2 \delta \) e centrato in un punto del grafico qualsiasi soddisfa quanto detto prima, ovvero che
il grafico interseca solo le altezze e lo deduci dal fatto che \( \left| f(x)- f(y) \right| \leq \epsilon \) quando hai \( \left| x-y \right| \leq \delta \). Infatti se il grafico intersecasse una larghezza in un punto (e non l'altezza) avresti trovato un punto \( y \) tale che \( \left| x-y \right| \leq \delta \) ma \( \left| f(x)- f(y) \right| > \epsilon \).
E questo vorrebbe dire che il tuo \( \delta \) lo hai scelto male oppure non è uniformemente continua.
Se hai voglia prova a dare l'interpretazione geometrica della continuità:
\( \forall x, \forall \epsilon >0 , \exists \delta >0 \) tale che \( \forall y \) tale che \( \left| x-y \right| \leq \delta \) allora \( \left| f(x)- f(y) \right| \leq \epsilon \)
Perfetto
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