Funzioni uniformemente continue
Buongiorno a tutti,
avrei bisogno di un chiarimento.
Per verificare che una funzione $ f $ non sia uniformemente continua in un dato intervallo basta trovare due successioni $ x_n $ e $ y_n $ tali che $ |x_n-y_n| $ tenda a $ 0 $, ma $ |f(x_n)-f(y_n)| $ non tenda a $ 0 $.
Ora, la mia domanda è: che ragionamento fare per determinare tali successioni?
Ad esempio mi viene chiesto di verificare che $ x sin (x^2) $ non sia U.C. in $ (1,+oo ) $ , ma sinceramente non so da dove partire.
Ringrazio in anticipo per le risposte.
avrei bisogno di un chiarimento.
Per verificare che una funzione $ f $ non sia uniformemente continua in un dato intervallo basta trovare due successioni $ x_n $ e $ y_n $ tali che $ |x_n-y_n| $ tenda a $ 0 $, ma $ |f(x_n)-f(y_n)| $ non tenda a $ 0 $.
Ora, la mia domanda è: che ragionamento fare per determinare tali successioni?
Ad esempio mi viene chiesto di verificare che $ x sin (x^2) $ non sia U.C. in $ (1,+oo ) $ , ma sinceramente non so da dove partire.
Ringrazio in anticipo per le risposte.
Risposte
Prova a prendere:
[tex]$x_n=\text{ascissa di un punto in cui $\sin x^2=1$}$[/tex] ed
[tex]$y_n=\text{ascissa di un punto in cui $\sin x^2=0$ che segue immediatamente $x_n$}$[/tex]...
[tex]$x_n=\text{ascissa di un punto in cui $\sin x^2=1$}$[/tex] ed
[tex]$y_n=\text{ascissa di un punto in cui $\sin x^2=0$ che segue immediatamente $x_n$}$[/tex]...
Scusate dato che è una cosa che interessa anche a me mi fareste vedere con tutti i passaggi come si vede che non è uniformente contuna. Grazie
Innanzitutto grazie della velocità della risposta.
Quindi prendo $ x_n=sqrt(npi/2) $ e $ y_n=sqrt(npi) $, in modo tale che $ sqrt(npi/2)-sqrt(npi) rarr 0$ e $ npi/2sin(npi/2)-npisin(npi) rarr +oo$.
Ma come faccio a dire che devo prendere queste successioni? che ragionamento si deve fare in generale?
Quindi prendo $ x_n=sqrt(npi/2) $ e $ y_n=sqrt(npi) $, in modo tale che $ sqrt(npi/2)-sqrt(npi) rarr 0$ e $ npi/2sin(npi/2)-npisin(npi) rarr +oo$.
Ma come faccio a dire che devo prendere queste successioni? che ragionamento si deve fare in generale?
Io avrei preso due termini della successione e fatto vedere che loro stanno a distanza minore di $delta$ ma le loro rispettive immagini sono maggiori di $epsilon$, il metodo generale è quello...Ma non mi torna qualcosa...
@riccardop91: Beh, se riesci a visualizzare a mente il grafico della funzione, il ragionamento che ho fatto per prendere quei due punti è ovvio...
Infatti il grafico è del tipo:
[asvg]xmin=0;xmax=10;ymin=-10;ymax=10;
axes("","");
plot("x*sin(x^2)");[/asvg]
e si vede facilmente che, mentre la distanza tra i punti [tex]$x_n$[/tex] ed [tex]$y_n$[/tex] diminuisce a zero man mano che [tex]$n$[/tex] cresce, quella tra le immagini [tex]$f(x_n)=x_n$[/tex] ed [tex]$f(y_n)=0$[/tex] aumenta indefinitamente.
@squalllionheart: Beh, è proprio quello che abbiamo fatto mostrando che [tex]$|x_n-y_n|\to 0$[/tex] e [tex]$|f(x_n)-f(y_n)|\to +\infty$[/tex].
Infatti il grafico è del tipo:
[asvg]xmin=0;xmax=10;ymin=-10;ymax=10;
axes("","");
plot("x*sin(x^2)");[/asvg]
e si vede facilmente che, mentre la distanza tra i punti [tex]$x_n$[/tex] ed [tex]$y_n$[/tex] diminuisce a zero man mano che [tex]$n$[/tex] cresce, quella tra le immagini [tex]$f(x_n)=x_n$[/tex] ed [tex]$f(y_n)=0$[/tex] aumenta indefinitamente.
@squalllionheart: Beh, è proprio quello che abbiamo fatto mostrando che [tex]$|x_n-y_n|\to 0$[/tex] e [tex]$|f(x_n)-f(y_n)|\to +\infty$[/tex].
la notazione con $y_n$ mi aveva confuso... di solito scrivo $x_n-x_(n+1)$ grazie
Grazie mille, ora credo di aver capito.
Solo una cosa, questo procedimento funziona nel caso di funzioni periodiche, come faccio negli altri casi?
Solo una cosa, questo procedimento funziona nel caso di funzioni periodiche, come faccio negli altri casi?
Guarda che la tua funzione non è periodica...
Ad ogni modo, negli altri casi, come pure in questo, serve sempre una buona dose di esperienza e di "occhio".
Ad ogni modo, negli altri casi, come pure in questo, serve sempre una buona dose di esperienza e di "occhio".
Sì, mi sono confuso, intendevo dire che, poiché la funzione ha infiniti zeri, viene abbastanza naturale (almeno ora che l'ho capito) prendere le successioni degli zeri e dei massimi.
Se la funzione è, ad esempio, $ xlogx $ (prendo sempre dagli esercizi), come ci si deve comportare?
Se la funzione è, ad esempio, $ xlogx $ (prendo sempre dagli esercizi), come ci si deve comportare?
Va bene, grazie ancora per l'aiuto.
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