Funzioni uniformemente continue
sapreste dimostrarmi questo teroema:
sia $f: (a,b) \to RR$
con $f$ continua e supponiamo
$EE$ $\lim_{x \to \+infty} f(x)$=$k$ $in$ $RR$
e
$EE$ $\lim_{x \to \-infty} f(x)$=$h$ $in$ $RR$
allora
$f$ uniformemente continua
sia $f: (a,b) \to RR$
con $f$ continua e supponiamo
$EE$ $\lim_{x \to \+infty} f(x)$=$k$ $in$ $RR$
e
$EE$ $\lim_{x \to \-infty} f(x)$=$h$ $in$ $RR$
allora
$f$ uniformemente continua
Risposte
Non è che le ipotesi fossero
$\exists \lim_{x\rightarrow a^+} f(x)=K\in R,\qquad \lim_{x\rightarrow b^-}f(x)=H\in R$?
$\exists \lim_{x\rightarrow a^+} f(x)=K\in R,\qquad \lim_{x\rightarrow b^-}f(x)=H\in R$?
no
sono queste
anche perchè f è una funzione definita in $RR$ a valori in $RR$ ..
sono queste
anche perchè f è una funzione definita in $RR$ a valori in $RR$ ..
E quindi F ha due limiti diversi in $+\infty$? e che funzione è????
hai ragione ho sbagliato sucsa..ora ho corretto..
Insomma, $a=-oo$ e $b=+oo$?
Serve un altro po' di chiarezza...
Serve un altro po' di chiarezza...
Comunque si è capito (almeno, credo) di cosa si tratta: dovrebbe essere un caso particolare del cosiddetto teorema della farfalla, secondo cui una funzione $RR\toRR$ continua e con asintoti (anche obliqui) è uniformemente continua. Qui c'è una dimostrazione di questo caso generale scritta da ViciousGoblin:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#229863
Ad occhio però, il caso in questione è più facile. Qui infatti gli asintoti sono orizzontali, non obliqui. Io direi:
fissiamo $epsilon$, allora al di fuori di un intervallo compatto $[alpha, beta]$ la funzione si può in qualche modo controllare con $epsilon$. Per l'interno dell'intervallo abbiamo un $delta$ (sugli intervalli compatti le funzioni continue sono uniformemente continue); su tutto il resto interveniamo con il controllo di cui sopra. Tying the loose ends, quel $delta$ (o qualche suo parente stretto) funzionerà su tutto $RR$.
Solo un'idea.
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#229863
Ad occhio però, il caso in questione è più facile. Qui infatti gli asintoti sono orizzontali, non obliqui. Io direi:
fissiamo $epsilon$, allora al di fuori di un intervallo compatto $[alpha, beta]$ la funzione si può in qualche modo controllare con $epsilon$. Per l'interno dell'intervallo abbiamo un $delta$ (sugli intervalli compatti le funzioni continue sono uniformemente continue); su tutto il resto interveniamo con il controllo di cui sopra. Tying the loose ends, quel $delta$ (o qualche suo parente stretto) funzionerà su tutto $RR$.
Solo un'idea.
Concretizzando la traccia di cui sopra:
Per ogni epsilon esistono due valori M e -M a partire dai quali la differenza dei valori della funzione in due punti entrambi seguenti o precedenti M e -M rispettivamente é minore di epsilon. In [-M,M] i due punti devono essere distanti meno del delta fissato dalla uniforme continuitá.
PS
Questa é solo una precisa traccia, ma i ragionamenti non sono inclusi ovviamente.
Inoltre l'enunciato non é proprio il massimo della chiarezza, ho capito cosa volesse dire
solo leggendo le risposte date sotto.
Per ogni epsilon esistono due valori M e -M a partire dai quali la differenza dei valori della funzione in due punti entrambi seguenti o precedenti M e -M rispettivamente é minore di epsilon. In [-M,M] i due punti devono essere distanti meno del delta fissato dalla uniforme continuitá.
PS
Questa é solo una precisa traccia, ma i ragionamenti non sono inclusi ovviamente.
Inoltre l'enunciato non é proprio il massimo della chiarezza, ho capito cosa volesse dire
solo leggendo le risposte date sotto.
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