Funzioni uniformamente continue - Teorema di Cantor

[indovina]

Ciao a tutti.
Ho un problema, che non riesco a risolvere.
Funzioni uniformamente continue e Teorema di Cantor
Per il primo argomento, non so a cosa si riferisce, probabilmente ai vari tipi di funzioni? C'è una dimostrazione apposita?
Inoltre quale è la differenza con le funzioni continue (senza uniformamente)?

Per il Teorema di Cantor ho bazzicato sul forum e ho trovato una spiegazione, che afferma che:
''Se l'insieme $X$ è formato da un numero finito di elementi, $card(X)=n$, la cardinalità delle parti di $X$ è $2^n$.
Io non son sicuro se va bene perchè questo argomento nel programma viene messo nel capitolo sulle funzioni continue.
Qualcuno saprebbe dirmi qualcosa su questi due argomenti?

Grazie

[Seneca1]

Non vorrei essere ripetitivo, ma sembra che tu non abbia neanche toccato un libro d'analisi.

[qwerty901]

"clever":Ciao a tutti.
Ho un problema, che non riesco a risolvere.
Funzioni uniformamente continue e Teorema di Cantor
Per il primo argomento, non so a cosa si riferisce, probabilmente ai vari tipi di funzioni? C'è una dimostrazione apposita?
Inoltre quale è la differenza con le funzioni continue (senza uniformamente)?

Per il Teorema di Cantor ho bazzicato sul forum e ho trovato una spiegazione, che afferma che:
''Se l'insieme $X$ è formato da un numero finito di elementi, $card(X)=n$, la cardinalità delle parti di $X$ è $2^n$.
Io non son sicuro se va bene perchè questo argomento nel programma viene messo nel capitolo sulle funzioni continue.
Qualcuno saprebbe dirmi qualcosa su questi due argomenti?

Grazie

Ahi ahi.....
Inizio dal secondo problema:
Il teorema di Cantor che hai trovato è quello che riguarda la cardinalità degli insiemi, cioè il problema nasce dal fatto di trovare sempre un insieme con cardinalità maggiore di Alef con 0 cioè la cardinalità di $NN$ e la cardinalità del continuo c di $RR$ . La risposta ci è data dal teorema di Cantor che afferma che dato un insieme esiste un altro insieme (prende per dimostrazione, l'insieme potenza o delle parti) maggiore dell'insieme dato.
Cioè $n<2^n$ che si può dimostrare per assurdo o per induzione. Ma credo che non sia il teorema che cerchi tu.Quello che stai cercando si chiama teorema di Heine - Cantor per le funzioni uniformemente continue. Esso afferma che data una funzione continua definita su di un compatto essa allora è uniformemente continua.

La differenza tra funzione continua e uniformemente continua:
$f$ continua su [a,b] significa : $forall epsilon>0, " " EE delta_epsilon>0, " " forall x in [a,b] " tali che " |x-x_0| |f(x)-f(x_0)| $f$ unif continua su $[a,b]$ significa: $forall epsilon>0, " " EE delta_epsilon>0, " " forall x,y in [a,b] " tali che " |x-y| |f(x)-f(y)|

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[Paolo902]

"qwerty90":
La differenza tra funzione continua e uniformemente continua:
$f$ continua su [a,b] significa : $forall epsilon>0, " " EE delta_epsilon>0, " " forall x in [a,b] " tali che " |x-x_0| |f(x)-f(x_0)| $f$ unif continua su $[a,b]$ significa: $forall epsilon>0, " " EE delta_epsilon>0, " " forall x,y in [a,b] " tali che " |x-y| |f(x)-f(y)|

1. mi pare di aver già visto la seconda scrittura
2. sei sicuro di ciò che affermi nel punto 1, please? Penso tu abbia capito, ma hai scritto in maniera scorretta...

[dissonance]

@clever: Come ti hanno fatto abbondantemente notare, stai di nuovo combinando un casino. Non mi pare proprio che tu stia studiando seguendo un percorso organico, se nell'altro post discuti degli assiomi dei numeri reali, mostrando di non averci capito un tubo, e qui parli di continuità, un argomento logicamente superiore al precedente.

Quindi per adesso spegni il computer, non cercare freneticamente ulteriori informazioni rispetto a quelle che hai già. Troppe informazioni sono peggio di troppo poche. Se i tuoi appunti non sono chiari prendi il tuo libro che è molto buono, lo conosco, e leggilo. Ma procedi con ordine, non partire dall'ultima pagina per poi procedere a ritroso, come mi pare tu stia facendo ancora.

Più avanti, quando avrai acquisito più confidenza, potrai iniziare a sfruttare efficacemente più sorgenti di informazione, ma non adesso: adesso ti confondi soltanto.

[indovina]

Io sto andando argomento per argomento, però poi mi segno le cose che non capisco e le posto in serata.
Per adesso ho ripetuto tutto il capitolo sulle successioni, le funzioni continue, e i limiti di funzione.
E in questi capitoli sono usciti anche quelli da me citati, che non riesco a capire.
Sul libro che ho, Cantor, non ne parla proprio...

[qwerty901]

"Paolo90":[quote="qwerty90"]
La differenza tra funzione continua e uniformemente continua:
$f$ continua su [a,b] significa : $forall epsilon>0, " " EE delta_epsilon>0, " " forall x in [a,b] " tali che " |x-x_0| |f(x)-f(x_0)| $f$ unif continua su $[a,b]$ significa: $forall epsilon>0, " " EE delta_epsilon>0, " " forall x,y in [a,b] " tali che " |x-y| |f(x)-f(y)|

1. mi pare di aver già visto la seconda scrittura [/quote]

Quando posso evito di scrivere sono pigro

"Paolo90":2. sei sicuro di ciò che affermi nel punto 1, please? Penso tu abbia capito, ma hai scritto in maniera scorretta...

$f$ continua su [a,b] significa : $forall epsilon>0, " " EE delta_((epsilon,x_0))>0, " " forall x in [a,b] " tali che " |x-x_0| |f(x)-f(x_0)|
Cioè $delta$ ha centro in $x_0$ ed ha raggio $epsilon$
Ti riferivi a questo?

[Paolo902]

"qwerty90":
Cioè $delta$ ha centro in $x_0$ ed ha raggio $epsilon$
Ti riferivi a questo?

Perdonami ma non ho capito. Ciò che hai scritto per me non ha senso.

Io risolverei la questione così. Analizziamo le differenze tra la continuità e l'uniforme continuità.

Per prima cosa, un'osservazione generale: la prima è una proprietà delle funzioni definibile a livello puntuale (una funzione si può dire continua in un punto). L'uniforme continuità è, invece, solo una proprietà locale, cioè ha senso solo in un intervallo.
Non ha alcun senso dire funzione uniformemente continua in un punto.

In secondo luogo, vediamo le definizioni.

La definizione di continuità di una funzione in un punto è questa: fissato un punto $x_0 in "dom"f$, dico $f$ continua in $x_0$ se
$AA epsilon >0, " " EE delta (epsilon, x_{0}), " " AA x in "dom" f " tale che " |x-x_0| |f(x)-f(x_0)|
Ok fin qui?

Adesso, proviamo a dare la definizione di funzione continua in un intervallo $I$: deve essere continua in ogni punto dell'intervallo, per cui basta aggiungere un quantificatore davanti a tutto:

[tex]\boxed{\forall x_{0} \in \text{Dom } f \cap I}[/tex] $" " AA epsilon >0, " " EE delta (epsilon, x_0), " " AA x in "dom"f nn I " tale che " |x-x_0| |f(x)-f(x_0)|
Mi seguite ancora? A questo punto, capire l'uniforme continuità è quasi un giochetto: basta prendere il primo quantificatore e spostarlo a metà, facendo però attenzione al fatto che il $delta$ non deve più dipendere da $x_0$:

$" " AA epsilon >0, " " EE delta_epsilon>0, " " AA x in "dom"f nn I $ [tex]\boxed{\forall x_{0} \in \text{Dom } f \cap I}[/tex] $ " tale che " |x-x_0| |f(x)-f(x_0)|
il che può essere riscritto in maniera più sintetica

$" " AA epsilon >0, " " EE delta_epsilon>0, " " AA x,y in "dom"f nn I " tali che " |x-y| |f(x)-f(y)|
che è la definizione classica di funzione uniformemente continua.

E' più chiara adesso la faccenda?
Se ci sono dubbi, sono a disposizione.

[qwerty901]

"Paolo90":[quote="qwerty90"]
Cioè $delta$ ha centro in $x_0$ ed ha raggio $epsilon$
Ti riferivi a questo?

Perdonami ma non ho capito. Ciò che hai scritto per me non ha senso.

Io risolverei la questione così. Analizziamo le differenze tra la continuità e l'uniforme continuità.

Per prima cosa, un'osservazione generale: la prima è una proprietà delle funzioni definibile a livello puntuale (una funzione si può dire continua in un punto). L'uniforme continuità è, invece, solo una proprietà locale, cioè ha senso solo in un intervallo.
Non ha alcun senso dire funzione uniformemente continua in un punto.

In secondo luogo, vediamo le definizioni.

La definizione di continuità di una funzione in un punto è questa: fissato un punto $x_0 in "dom"f$, dico $f$ continua in $x_0$ se
$AA epsilon >0, " " EE delta (epsilon, x_{0}), " " AA x in "dom" f " tale che " |x-x_0| |f(x)-f(x_0)|
Ok fin qui?

Adesso, proviamo a dare la definizione di funzione continua in un intervallo $I$: deve essere continua in ogni punto dell'intervallo, per cui basta aggiungere un quantificatore davanti a tutto:

[tex]\boxed{\forall x_{0} \in \text{Dom } f \cap I}[/tex] $" " AA epsilon >0, " " EE delta (epsilon, x_0), " " AA x in "dom"f nn I " tale che " |x-x_0| |f(x)-f(x_0)|
Mi seguite ancora? A questo punto, capire l'uniforme continuità è quasi un giochetto: basta prendere il primo quantificatore e spostarlo a metà, facendo però attenzione al fatto che il $delta$ non deve più dipendere da $x_0$:

$" " AA epsilon >0, " " EE delta_epsilon>0, " " AA x in "dom"f nn I $ [tex]\boxed{\forall x_{0} \in \text{Dom } f \cap I}[/tex] $ " tale che " |x-x_0| |f(x)-f(x_0)|
il che può essere riscritto in maniera più sintetica

$" " AA epsilon >0, " " EE delta_epsilon>0, " " AA x,y in "dom"f nn I " tali che " |x-y| |f(x)-f(y)|
che è la definizione classica di funzione uniformemente continua.

E' più chiara adesso la faccenda?
Se ci sono dubbi, sono a disposizione.

[/quote]

claro che si... il fatto è che con il matematichese spesso ho problemi e dimenticanze

[indovina]

Ringrazio Paolo90 per le preziose informazioni
Solo una cosa, non capisco la differenza tra $epsilon$ e $delta$.

[Luca.Lussardi]

Hai detto poco..... la differenza tra $\epsilon$ e $\delta$ in queste definizioni sta alla base dell'analisi matematica. Ti rinnovo il consiglio dato da altri: cerca di riprendere in mano tutto da zero e piano.

[indovina]

Ho preso tutto con calma e piano.
Ora sto cercando di ripetere il tutto.
Grazie dei consigli