Funzioni tangenti e differenziali
\( \newcommand{\norm}[1]{\lVert{#1}\rVert} \)Ciao. Se \( f \) e \( g \) sono funzioni definite in un intorno di un punto \( x_0\in \mathbb R \) a valori reali derivabili \( k \) volte in \( x_0 \), è ben noto che si ha
\[
f^{(i)}(x_0) = g^{(i)}(x_0)
\] per ogni \( i = 1,\dots,k \) se e solo se
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x) - g(x)}{(x - x_0)^k} = 0\,\text{.}
\]
È ancora vero che se \( f,g\colon A\subset E\to F \) sono funzioni tra spazi normati definire in un intorno di un punto \( x_0 \) e ivi differenziabili \( k \) volte, si ha
\[
\mathrm d^if(x_0) = \mathrm d^ig(x_0)
\] per ogni \( i = 1,\dots,k \) se e solo se
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\norm{f(x) - g(x)}_F}{\norm{x - x_0}_E^k} = 0\, \text{?}
\]
Vorrei dimostrarlo intanto per \( k = 1 \) e poi per \( k \) arbitrario (anche perché penso che per \( k\geqq 2 \) la cosa segua da un'induzione), ma mi incarto.
\[
f^{(i)}(x_0) = g^{(i)}(x_0)
\] per ogni \( i = 1,\dots,k \) se e solo se
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x) - g(x)}{(x - x_0)^k} = 0\,\text{.}
\]
È ancora vero che se \( f,g\colon A\subset E\to F \) sono funzioni tra spazi normati definire in un intorno di un punto \( x_0 \) e ivi differenziabili \( k \) volte, si ha
\[
\mathrm d^if(x_0) = \mathrm d^ig(x_0)
\] per ogni \( i = 1,\dots,k \) se e solo se
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\norm{f(x) - g(x)}_F}{\norm{x - x_0}_E^k} = 0\, \text{?}
\]
Vorrei dimostrarlo intanto per \( k = 1 \) e poi per \( k \) arbitrario (anche perché penso che per \( k\geqq 2 \) la cosa segua da un'induzione), ma mi incarto.
Risposte
Almeno per $k=1$ è vero, e la dimostrazione dovrebbe esserela stessa che nel caso unidimensionale.
\( \newcommand{\norm}[1]{\lVert{#1}\rVert} \)Allora, riesco a dimostrare la cosa per \( k = 1 \): se
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{\norm{f(x)}}{\norm{x - x_0}} = 0
\] vale
\[
f(x_0) = \lim_{x\to x_0}\norm{f(x)} = \lim_{x\to x_0}\norm{x - x_0}\frac{\norm{f(x)}}{\norm{x - x_0}} = 0
\] perché \( f \) è differenziabile in \( x_0 \) e quindi ivi continua, e quindi si ha anche
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{\norm{f(x) - f(x_0)}}{\norm{x - x_0}} =0
\] che altro non è che la tesi. Questo dimostra che se
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{\norm{f(x) - g(x)}}{\norm{x - x_0}} = 0
\] allora
\[
\mathrm d(f - g)(x_0) = 0
\] e quindi per la linearità dell'operatore di differenziazione in \( x_0 \) si ha
\[
\mathrm df(x_0) = \mathrm dg(x_0)
\] che è quello che ci stavamo strappando i capelli per cercare di dimostrare.
A questo punto boh, se ho voglia provo con i differenziali più alti, ma quello che mi fa paura è che la dimostrazione per funzioni \( \mathbb R\to \mathbb R \) usa de l'Hôpital. Bisognerebbe vedere quanto si riesce ad adattare la dimostrazione dell'ospedale al caso in più variabili (il che significa: devo imparare a usare i teoremi del valor medio per fare cose). Chi ne ha voglia...
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{\norm{f(x)}}{\norm{x - x_0}} = 0
\] vale
\[
f(x_0) = \lim_{x\to x_0}\norm{f(x)} = \lim_{x\to x_0}\norm{x - x_0}\frac{\norm{f(x)}}{\norm{x - x_0}} = 0
\] perché \( f \) è differenziabile in \( x_0 \) e quindi ivi continua, e quindi si ha anche
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{\norm{f(x) - f(x_0)}}{\norm{x - x_0}} =0
\] che altro non è che la tesi. Questo dimostra che se
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{\norm{f(x) - g(x)}}{\norm{x - x_0}} = 0
\] allora
\[
\mathrm d(f - g)(x_0) = 0
\] e quindi per la linearità dell'operatore di differenziazione in \( x_0 \) si ha
\[
\mathrm df(x_0) = \mathrm dg(x_0)
\] che è quello che ci stavamo strappando i capelli per cercare di dimostrare.
A questo punto boh, se ho voglia provo con i differenziali più alti, ma quello che mi fa paura è che la dimostrazione per funzioni \( \mathbb R\to \mathbb R \) usa de l'Hôpital. Bisognerebbe vedere quanto si riesce ad adattare la dimostrazione dell'ospedale al caso in più variabili (il che significa: devo imparare a usare i teoremi del valor medio per fare cose). Chi ne ha voglia...
Tutte queste affermazioni sono conseguenze della formula di Taylor con una qualsiasi espressione del resto. La formula di Taylor è vera nel contesto più generale possibile. Quindi anche queste affermazioni sono vere nel contesto più generale possibile.
L'unica difficoltà sta nel definire le derivate di ordine superiore al primo. É un concetto un po' scivoloso perché cambia un po' a seconda del contesto; in uno spazio normato si possono definire in un modo, in uno spazio di Hilbert o su una varietá Riemanniana in un altro. Solo con la struttura di varietá differenziabile, le derivate di ordine almeno 2 non si riescono a definire in modo invariante.
L'unica difficoltà sta nel definire le derivate di ordine superiore al primo. É un concetto un po' scivoloso perché cambia un po' a seconda del contesto; in uno spazio normato si possono definire in un modo, in uno spazio di Hilbert o su una varietá Riemanniana in un altro. Solo con la struttura di varietá differenziabile, le derivate di ordine almeno 2 non si riescono a definire in modo invariante.
Qual è la differenza tra la definizione che puoi dare in uno spazio normato e in uno spazio di Hilbert?
Per come lo sapevo io in uno spazio di Hilbert, almeno per l'ordine $1$, guadagni il fatto che il funzionale lo puoi rappresentare come prodotto scalare con un elemento dello spazio, quindi recuperi il concetto di gradiente, chè è un di più rispetto a quello "nudo" di differenziale.
Per come lo sapevo io in uno spazio di Hilbert, almeno per l'ordine $1$, guadagni il fatto che il funzionale lo puoi rappresentare come prodotto scalare con un elemento dello spazio, quindi recuperi il concetto di gradiente, chè è un di più rispetto a quello "nudo" di differenziale.
Non mi è proprio venuta in mente la formula di Taylor per due motivi, e cioè perché 1) non ho mai studiato la Taylor per funzioni a valori tra spazi normati, perché di fatto non mi è mai servita, e 2) perché il fatto che riporto nel post precedente ("due funzioni reali di una variabile reali hanno le stesse derivate fino a \( k \) sse...") l'ho imparato in Analisi 1 proprio come lemma propedeutico per la formula di Taylor col resto di Peano.
Io dico che \( f \) è di classe \( \mathcal C^1 \) se \( f \) è differenziabile e se \( \mathrm df\colon A\to \hom(E,F) \) è continua (dove \( \hom(E,F) \) naturalmente è lo spazio vettoriale delle funzioni lineari limitate \( E\to F \) equipaggiato con la norma operatoriale). Se \( k\geqq 2 \), dico che \( f \) è di classe \( \mathcal C^k \) se intanto \( f \) è differenziabile, e se \( \mathrm df \) è di classe \( \mathcal C^{k - 1} \).
In modo simile si può dire con precisione che cosa è il differenziale \( k \)-esimo di \( f \), che cosa vuol dire che una \( f\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^m \) ha tutte le derivate parziali fino all'ordine \( k \), ecc.
Comunque, provo ad assumere Taylor e vediamo fin dove arrivo.
"dissonance":
L'unica difficoltà sta nel definire le derivate di ordine superiore al primo.
Io dico che \( f \) è di classe \( \mathcal C^1 \) se \( f \) è differenziabile e se \( \mathrm df\colon A\to \hom(E,F) \) è continua (dove \( \hom(E,F) \) naturalmente è lo spazio vettoriale delle funzioni lineari limitate \( E\to F \) equipaggiato con la norma operatoriale). Se \( k\geqq 2 \), dico che \( f \) è di classe \( \mathcal C^k \) se intanto \( f \) è differenziabile, e se \( \mathrm df \) è di classe \( \mathcal C^{k - 1} \).
In modo simile si può dire con precisione che cosa è il differenziale \( k \)-esimo di \( f \), che cosa vuol dire che una \( f\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^m \) ha tutte le derivate parziali fino all'ordine \( k \), ecc.
Comunque, provo ad assumere Taylor e vediamo fin dove arrivo.
"dissonance":La cosa che sto cercando di dimostrare è (una generalizzazione a \( k > 1 \) di) un lemma che mi serve per costruire \( \mathrm TM \), quindi mi basta sia vera per funzioni tra spazi normati.
Solo con la struttura di varietá differenziabile, le derivate di ordine almeno 2 non si riescono a definire in modo invariante.
"otta96":
il funzionale lo puoi rappresentare come prodotto scalare con un elemento dello spazio, quindi recuperi il concetto di gradiente, chè è un di più rispetto a quello "nudo" di differenziale.
Esatto. Questo per la derivata prima. Anche per la derivata seconda e per le derivate successive hai qualche semplificazione, recuperi il concetto di Hessiana, etc... Non sono cose che uso frequentemente quindi ora mi sfuggono i dettagli. Invece nel caso normato, come Marco ci ha ricordato, non puoi sfuggire ad avere mappe
\[
X\to \mathrm{hom}(\mathrm{hom}(\ldots \mathrm{hom}(X, Y))),\]
che chiaramente hanno una utilità molto più limitata.
Similmente, su una varietà Riemanniana puoi definire la matrice Hessiana e le derivate di ordine superiore attraverso la derivata covariante. Mentre su una generica varietà differenziabile non sfuggi ai fibrati tipo
\[
T(T\ldots TM), \]
ovvero "fibrato tangente del fibrato tangente del fibrato tangente etc...".
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