Funzioni sviluppabili in serie di Taylor
$"Funzioni analitiche" sub C^oo sub C^1 sub "Funzioni derivabili" sub "Funzioni continue" sub Funzioni$
Quali di queste sono espandibili in serie di Taylor?
Quali di queste sono espandibili in serie di Taylor?
Risposte
Le funzioni analitiche, che si indicano col simbolo $C^omega$.
Infatti, per definizione, $f$ è analitica in $Omega$ aperto se, per ogni $x_0\in Omega$, risulta $f(x)=\sum_(n=0)^(+oo)a_n (x-x_0)^n$ per $x$ in un opportuno intorno di $x_0$ contenuto in $Omega$.
Ora, da Analisi II sai che se $f$ è somma di una serie di potenze $\sum a_n(x-x_0)^n$, allora la serie altro non è che la serie di Taylor di $f$ con punto iniziale $x_0$, ossia che $AA n\in NN, a_n=(f^((n))(x_0))/(n!)$.
Pertanto, se $f$ è analitica risulta $f(x)=\sum_(n=0)^(+oo)(f^((n))(x_0))/(n!)(x-x_0)^n$ intorno ad $x_0$: ciò significa che $f$ è sviluppabile in serie di Taylor intorno ad ogni punto del suo aperto di definizione.
Evidentemente, però, puoi scrivere la serie di Taylor formale di ogni $f\in C^oo$ (qui l'aggettivo formale sta ad indicare che, quando scrivi la serie, non ti preoccupi se essa converge in un insieme "interessante"); se $f\in C^oo$ ma $f\notin C^omega$ allora si possono presentare due problemi:
I) la serie di Taylor di $f$ di punto iniziale $x_0$ converge nel solo punto iniziale;
II) la serie di Taylor di $f$ di punto iniziale $x_0$ converge in un intorno del punto iniziale epperò ha per somma una funzione diversa da $f$.
Quindi in generale per funzioni di classe $C^oo$ che non sono analitiche, non si può affermare nulla sul comportamento della serie di Taylor di $f$.
Infatti, per definizione, $f$ è analitica in $Omega$ aperto se, per ogni $x_0\in Omega$, risulta $f(x)=\sum_(n=0)^(+oo)a_n (x-x_0)^n$ per $x$ in un opportuno intorno di $x_0$ contenuto in $Omega$.
Ora, da Analisi II sai che se $f$ è somma di una serie di potenze $\sum a_n(x-x_0)^n$, allora la serie altro non è che la serie di Taylor di $f$ con punto iniziale $x_0$, ossia che $AA n\in NN, a_n=(f^((n))(x_0))/(n!)$.
Pertanto, se $f$ è analitica risulta $f(x)=\sum_(n=0)^(+oo)(f^((n))(x_0))/(n!)(x-x_0)^n$ intorno ad $x_0$: ciò significa che $f$ è sviluppabile in serie di Taylor intorno ad ogni punto del suo aperto di definizione.
Evidentemente, però, puoi scrivere la serie di Taylor formale di ogni $f\in C^oo$ (qui l'aggettivo formale sta ad indicare che, quando scrivi la serie, non ti preoccupi se essa converge in un insieme "interessante"); se $f\in C^oo$ ma $f\notin C^omega$ allora si possono presentare due problemi:
I) la serie di Taylor di $f$ di punto iniziale $x_0$ converge nel solo punto iniziale;
II) la serie di Taylor di $f$ di punto iniziale $x_0$ converge in un intorno del punto iniziale epperò ha per somma una funzione diversa da $f$.
Quindi in generale per funzioni di classe $C^oo$ che non sono analitiche, non si può affermare nulla sul comportamento della serie di Taylor di $f$.
Nelle funzioni analitiche uso sempre punto di partenza c=0 per qualunque x io voglia calcolare la funzione?
Ma anche no. La scelta del punto iniziale dipende da che devi fare, ovviamente.
Ad esempio un calcolo di limite o un'approssimazione di valore di una funzione
Appunto... Se stai valutando le cose per $x\to x_0$ ti servirà scoprire lo sviluppo di qualche funzione di punto iniziale $x_0$, probabilmente.
Quindi per calcolare lim x->1 f(x) sviluppo f(x) nel punto x0=1?
Di solito sì.
Però il più delle volte puoi ricondurti al punto $0$: infatti, con la sostituzione $y=x-1$ puoi riportare tutto il limite in $0$.
Facciamo prima se discutiamo un caso specifico, non credi?
Però il più delle volte puoi ricondurti al punto $0$: infatti, con la sostituzione $y=x-1$ puoi riportare tutto il limite in $0$.
Facciamo prima se discutiamo un caso specifico, non credi?
Ad esempio potrei approssimare il seno di pigreco
Gli sviluppi notevoli con x0=0 li posso quindi utilizzare solo per calcolare approssimazioni di f(0) e non di f(c) c!=0?
Se vuoi usare $e^x=\sum_(n=0)^(+oo) x^n/(n!)$ (sviluppo dell'esponenziale di punto iniziale $0$) per calcolare $e^c$ basta sostituire $c$ nella serie al posto di $x$...
Però non credo che tu voglia sapere proprio questo; prova a spiegarti meglio.
Però non credo che tu voglia sapere proprio questo; prova a spiegarti meglio.
Beh, dipende dall'oggetto in studio.
Ad esempio l'esponenziale: si ha che $e^x=sum_(n=0)^(+oo) frac{x^n}{n!}$ $AAx in RR$
Quindi puoi sempre usare la serie per parlare di esponenziale (anzi, c'è chi la prende proprio come definizione di esponenziale).
Ma non sempre la situazione è così comoda: spesso è più facile, dato che sei interessato al comportamento intorno al punto $x_0$, andare a considerare lo sviluppo centrato in $x_0$, e vedere se c'è almeno un intorno del punto in cui funzione e sviluppo in serie coincidono. Insomma visto che stai parlando di un punto, ti rechi lì e vedi la cosa da vicino, non sempre la tua funzione è così buona che puoi vedere le cose da lontano.
EDIT: ho scritto contemporaneamente a Gugo
Ad esempio l'esponenziale: si ha che $e^x=sum_(n=0)^(+oo) frac{x^n}{n!}$ $AAx in RR$
Quindi puoi sempre usare la serie per parlare di esponenziale (anzi, c'è chi la prende proprio come definizione di esponenziale).
Ma non sempre la situazione è così comoda: spesso è più facile, dato che sei interessato al comportamento intorno al punto $x_0$, andare a considerare lo sviluppo centrato in $x_0$, e vedere se c'è almeno un intorno del punto in cui funzione e sviluppo in serie coincidono. Insomma visto che stai parlando di un punto, ti rechi lì e vedi la cosa da vicino, non sempre la tua funzione è così buona che puoi vedere le cose da lontano.
EDIT: ho scritto contemporaneamente a Gugo
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